Группы и их история

Группа — это множество G с определенной на нем внутренней операцией *, для которой выполняются следующие аксиомы: ассоциативность, наличие нейтрального элемента и наличие обратного элемента. Следовательно, когда речь идет о группах, всегда нужно обращать внимание на множество G и операцию, определенную на нем, которая обладает определенными свойствами. Обычно группа обозначается в виде (G, *).

Мы увидели, что множество целых чисел Z с операцией сложения образует группу (Z, +). Вспомним, что целые числа — это натуральные числа плюс отрицательные числа и ноль. Поэтому множество натуральных чисел 1,2, 3,4... не образует группу по отношению к операции сложения, так как отсутствует нейтральный элемент 0 и обратные элементы, которыми для этой операции будут отрицательные числа. По этой же причине множество целых чисел не образует группу по отношению к операции умножения. Это множество содержит нейтральный элемент 1, но не содержит обратных элементов: например, обратным элементом для 2 является 1/2, что не является целым числом. Напротив, множество рациональных чисел Q, содержащее все дроби, образует группу относительно операции умножения и обозначается (Q, х).

Как уже говорилось выше, группы не обязательно могут быть образованы числами. Снова обратимся к операции *, которую мы определили на множестве {а, b, с}, и попробуем с помощью таблицы определить, образует ли это множество группу.таблица

Сначала докажем, что эта операция обладает свойством ассоциативности:
а*(b*с)=а*b=с,
(а*b)*с=с*с=с.

Это доказывает, что а*(b*с)=(а*b)*с.

Аналогично можно доказать ассоциативность для трех элементов, расположенных в другом порядке, а также для любой тройки повторяющихся элементов.

Мы уже показали, что с является нейтральным элементом для этой операции. Таким образом, нам осталось доказать, что для каждого элемента имеется обратный.

Видим, что а*b=с, поэтому а является обратным для b, b является обратным для а. В свою очередь с является обратным для самого себя, что справедливо для нейтрального элемента любой группы.

Перестановка на множестве элементов означает изменение их порядка. В графическом виде перестановки трех элементов (круга, звезды и листа клевера) выглядят так:perestanovka

Объясним, как выполняется «умножение» перестановок. Возьмем две перестановки, например, P_2 и P_3,. «Умножение» означает выполнение этих перестановок одной за другой.умножение перестановок

Таблица «умножения» для этой операции выглядит следующим образом:таблица умножения перестановок

Эта операция на данном множестве образует группу перестановок или симметрическую группу. Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) первым изучил структуры подобного типа, применив операцию перестановки к корням многочлена. Это направление впоследствии развил Эварист Галуа (1811-1832), который первым использовал термин «группа» в современном значении.

Мы рассмотрели примеры групп на множествах чисел и пример абстрактной группы, для которой была приведена таблица операций. Мы рассмотрели вращения на плоскости — пример группы, не образованной множеством чисел. Некоторые из этих геометрических преобразований, к которым следует добавить преобразования симметрии, образуют группы, таблицы операций для которых построить непросто. Немецкий математик Феликс Клейн посвятил большую часть жизни изучению подобных групп. Результаты своей работы он изложил в знаменитой «Эрлангенской программе», в которой классифицировал существовавшие в то время геометрические теории в соответствии с группами преобразований, характерных для той или иной геометрии.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Комментарии

  1. Людмила

    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>