Бесконечно малые величины

Подобно тому, как можно говорить о чем-то бесконечно большом, можно вести речь и о бесконечно малом, перевернув понятие бесконечности с ног на голову и открыв тем самым мир бесконечно малых величин. Например, между 0 и 1 расположено число 1/2, которое меньше 1 и больше 0. Но 1/3, в свою очередь, меньше 1/2 и больше 0. Очевидно, что Бесконечно малые величиныэтот ряд может продолжаться бесконечно: 1/5,1/6,... Сколько же подобных чисел находится между 1 и 0?

Есть два ответа на этот вопрос. Первый ответ: столько, сколько захотим. Здесь мы оказываемся в области потенциальной бесконечности (иными словами, потенциальных бесконечно малых величин). Второй ответ: бесконечное количество. В этом случае речь идет об актуальной бесконечности.

Среди синонимов слова «бесконечный» в словаре можно встретить «большой», «беспредельный», «расширяющийся во все стороны» и им подобные. Все эти определения нельзя применить к малому интервалу вида (0, 1), ведь это ограниченное и очень малое множество, внутрь которого помещается бесконечность. Более того, интервал, на котором может поместиться бесконечность, может быть сколь угодно малым: например, между 0,0000000000000000000001 и 0 может располагаться бесконечное количество чисел. Эта простая истина в свое время представляла затруднение для противников актуальной бесконечности. Естественно, это бесконечное множество должно формироваться шаг за шагом.

С помощью простой арифметики мы можем получить сколь угодно малые числа, и это прекрасно согласуется с точкой зрения сторонников потенциальной бесконечности Признаем, что совершить «действие» по составлению этого бесконечного множества невозможно. Однако мы ограничили это множество сверху и снизу границами интервала. Не нужно создавать безграничные пространства, непостижимые для нашего восприятия, ведь бесконечность может уместиться на небольшом участке.

В XIX веке понятие бесконечности стало дифференцированным. Кантор не просто определил актуальную бесконечность на языке математики, но и показал существование разных бесконечностей. Более того, он доказал, что одни бесконечности больше других, и создал бесконечную последовательность трансфинитных чисел. Он впервые потряс математический мир, пойдя наперекор здравому смыслу и, в частности, суждению Евклида: «Целое больше, чем каждая из его частей».

Нетрудно показать, что на множестве целых чисел одна из его частей столь же велика, как и множество в целом: сформируем таблицу из двух колонок, в первой из которых будут записаны целые числа, во второй — они же, умноженные на два, и увидим, что целых чисел столько же, сколько и четных. Это является характерной чертой бесконечных множеств. Только они обладают странным свойством: их часть может быть столь же большой, как и всё множество. Кантор доказал, что вещественных чисел больше, чем целых. Оба эти множества бесконечны, но одно из них больше другого, из чего следует, что не все бесконечности одинаковы.

Так Кантор начал, возможно, самый удивительный этап в истории человеческой мысли, породивший бесчисленное множество разнообразных противоречий: математических, логических, метафизических и даже теологических, многие из которых до сих пор не разрешены. На долю самого Кантора выпало первое и, быть может, самое тяжелое из них, ставшее причиной противостояния с его бывшим учителем, Леопольдом Кронекером (1823-1891). Подробнее об этом читайте в следующей статье.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>