Операции над множествами

Существует два особых множества, обязательных с точки зрения теории: это пустое и универсальное множества. Первое из них обозначается символом  \oslash (буква «О», перечеркнутая по диагонали) и определяется как множество, не содержащее ни одного элемента. Это множество можно считать спорным с точки зрения философии. ВОперации над множествами свое время у него даже появились противники, утверждавшие, что если множество не содержит элементов, следовательно, его образует ничто. А ничто не существует, поэтому пустое множество также не может существовать.

Универсальное множество обозначается греческой буквой \Omega, хотя во многих источниках обозначается знаком U, который далее будем использовать и мы. Его определение менее строгое, чем определение пустого множества. Обычно говорят, что универсальное множество содержит все возможные множества.

Это очень привлекательный вариант: \oslash не содержит ничего, поэтому U содержит всё, то есть все возможные множества. Так делать не рекомендуется, и не по метафизическим причинам (математики игнорируют их, даже глазом не моргнув), а потому, что это повлияет на внутреннюю логику самого определения множества. По этой причине на универсальное множество наложены определенные ограничения. В примере, который мы использовали в статье "Понятие множества", заскучавший гость рассматривал обувь всех, кто пришел на праздник. Мы можем считать универсальным множеством и множество пар обуви всех присутствующих на встрече. Но может случиться так, что мы расширим универсальное множество и включим в него всю обувь определенной марки, произведенную в стране. Также было бы неудобно считать универсальным множество, образованное всеми парами обуви в мире. Важно, что универсальное множество содержит все элементы, которые целесообразно рассматривать в конкретной ситуации.

Для множеств определены две операции, аналогичные сумме и произведению: это объединение и пересечение множеств соответственно. Объединение двух множеств, обозначаемое символом \cup, — это множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Например, если

А = {a, b, c, d, 1, 2} и B={1, 2, 3}, то A\cup B=\{a, b, c, d,1, 2, 3\}.

Пересечение двух множеств, обозначаемое символом \cap, — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые принадлежат обоим множествам. Из примера выше получим:

A\cap B=\{1, 2\}.

Если множества не содержат общих элементов, то их пересечение будет являться пустым множеством:

A\cap B=\oslash.

Третья важная операция, которая применима к одному множеству, — это дополнение. Дополнение множества A обозначается разными способами: С(А), \bar{A} или A^c. Будем использовать последнее обозначение. По определению, дополнение A^c множества А — это множество, образованное всеми элементами, не принадлежащими А; иными словами, теми, которые принадлежат универсальному множеству и не принадлежат А. Здесь четко проявляется необходимость определить универсальное множество, о чем мы говорили ранее.

Если мы рассмотрим множество A=\{1, \frac34, \sqrt2 \}, его дополнением будет множество, образованное любыми элементами, кроме указанных трех чисел. В этом множестве будут содержаться члены английского парламента, конфеты, которые продаются в магазине, и даже планета Сатурн.

Понимая данный материал, вы можете смело ехать заграницу и там получать знания или даже перспективную работу в последствии.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (7 голосов, рейтинг: 2,14 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>