Условные обозначения в теории множеств

Точно так же как детям, которые только научились читать, нравятся книжки со сказками, где много картинок и мало букв, так и взрослым нравится научно-популярная литература, где много текста и мало формул. И это вполне понятно: большинство формул, кажущихся простыми, требуют серьезной математической подготовки. Но символы, Условные обозначения в теории множествиспользуемые в теории множеств, исключение: ведь речь идет о логическом языке, цель которого — ясность и удобство. Предположим, что мы хотим представить множество (обозначим его буквой А), образованное всеми натуральными числами от 1 до 15, причем четными. И мы уже это сделали. Ни один человек из прочитавших часть предыдущего предложения, выделенную курсивом, не усомнился в том, какие
именно элементы образуют множество А. Это же можно записать более кратко:

А = {2,4, 6, 8, 10, 12,14}.

Или так:

А = {х такие, что х — четное число на интервале от 1 до 15}.

На языке математики слова «такие, что...» обозначаются символом «/»:

А = {х /х — четное число на интервале от 1 до 15}.

Первая характеристика из использованных нами называется перечислением и означает список всех элементов множества. Например,

V = {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}

является перечислением всех гласных звуков русского языка. Если множество задано описанием свойств его элементов, тогда указывается свойство, которым обладают все элементы множества и только они. Например,

V={x /х — гласный звук русского языка}.

Говорят, что множество определено корректно, когда можно однозначно установить, принадлежит некий элемент этому множеству или нет. Принадлежность обозначается символом \in. Если мы обозначим множество всех четных чисел буквой Р, то 4\in P. Чтобы обозначить непринадлежность к множеству, используют этот же символ, но перечеркнутый: \notin. То есть мы можем записать, что 5\notin P.

Множество может являться частью другого множества. Например, четные числа являются частью большего множества целых чисел (его обычно обозначают буквой Z). В этом случае говорят, что одно множество является подмножеством другого и обозначают это отношение знаком \subset:

P\subset Z.

Например, если А={23, 4, 815, 5, 6, 200, а, z} и В={4, 6, z}, то B \subset A.

Заметим, что два последних множества, определенные перечислением символов, образованы произвольными элементами. Важно отметить, что между элементами множества не обязательно должно существовать какое-либо особенное отношение и они не обязаны соответствовать какому-либо определенному закону. С другой стороны, говоря о множествах Р и Z, мы ввели два бесконечных множества. Подобные множества также можно задать перечислением элементов:

Р = {2,4, 6, 8, 10...},

Z ={...-3, -2,-1,0,1,2,3...},

где многоточиями обозначена бесконечная последовательность элементов. Данное представление бесконечных множеств выполнимо, если не влечет появления неоднозначности.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (4 голосов, рейтинг: 4,75 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>