Понятие множества

Понятие множества на момент своего появления в XIX веке казалось достаточно простым и ясным, чтобы с легкостью объединить многие разделы математики. Несмотря на это, развитие теории множеств повлекло за собой неожиданности и парадоксы, что привело к необходимости создания аксиом, которые сформировали бы ее логичный и прочный фундамент.Понятие множества

Как и все математические теории, теория множеств имеет собственный язык и особые правила записи. Введение двух особых множеств, универсального и пустого, вкупе с определением операций объединения, пересечения и дополнения над множествами позволяет ввести алгебраическую структуру — булеву алгебру, которая имеет чрезвычайно большое теоретическое и практическое значение.

Пуанкаре как-то сказал, что математик — это человек, дающий разным вещам одно наименование. Это лаконичный, хоть и несколько ироничный способ выразить истину, поскольку конечная цель, к которой стремятся математики, — обобщение. И в наивысшей степени эта фраза применима к теории множеств, поскольку слово «множество» может означать любое существующее понятие, а также множество несуществующих. Однако очевидно, что важность теории множеств заключается не столько в его семантическом значении, сколько в том, что она глубоко изменила внутреннюю структуру всей математики. Этот раздел настолько важен, что можно говорить о времени «до» и «после» создания теории множеств.

Почему же множества столь важны? Потому что это очень простая теория, с помощью которой можно создать несметное количество более сложных понятий и структур: упорядоченная пара, отношение, функция, деление, порядок, натуральное число, целое число, рациональное число, вещественное число, комплексное число, группа, кольцо, поле, векторное пространство и многие другие. Этот список можно продолжать бесконечно: вся математика действительно вращается вокруг теории множеств. Но всю важность этой теории понимают лишь математики, логики и, возможно, программисты. Тем не менее решение обучать теории множеств пятилетних детей, принятое в 1960-х годах, не кажется оправданным. Этот груз до сих пор несут на себе системы образования некоторых стран.

Первая сложность теории множеств заключается в самом определении того, что же такое множество. После того как мы преодолеем это препятствие, на нашем пути не возникнет никаких затруднений. Очень сложно определить понятие множества, не используя само это слово или один из его синонимов: объединение, соединение, группа и т. д. Одно из лучших определений, в котором не используются синонимы в явном виде, дал Бертран Рассел: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое».

Это интересное определение, поскольку в нем сделан упор на философском аспекте множества: объекты формируют множество только потому, что кто-то рассматривает их как единое целое. Предположим, что мы пришли на встречу и вот-вот заскучаем, потому что не знаем никого из присутствующих. Если мы от нечего делать обратим внимание на обувь гостей и поделим ее на две группы: «мне нравится» и «мне не нравится», то установим отношение на четко определенном множестве пар обуви всех присутствующих на встрече.

Именно в смене нашего отношения и заключается мысленное представление объектов как единого целого. Когда мы сосредотачиваем внимание на чем-то, обращаем внимание только на определенные вещи, то формируем множество. Об этом же думал и Георг Кантор — возможно, первый мастер теории множеств, давший следующее определение: «Под множеством мы понимаем соединение в некое целое определенных хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления».

Множеством могут быть даже ваши зубы и когда часть из них выпадает по той или иной причине, то вы делаете зубное протезирование москва или в любом другом городе Теперь мы имеем два множества одно: родные зубы - второе: зубы с нейлонового протеза, которые дополняют одна одну.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>