Понятие группы и внутренней операции

Теория групп — одна из наиболее значимых и объединяющих теорий в математике. Группы как алгебраические структуры основаны на простых понятиях, тем не менее, они стали мощным инструментом классификации в математике и физике.Понятие группы и внутренней операции

Общие алгебраические структуры, подобные группе, определяются путем выделения определенных характеристик, общих для различных конкретных операций. Привычные операции, например сложение или умножение, имеют определенные общие свойства. К примеру, ноль в сложении и единица в умножении играют одинаковую роль. Поэтому немудрено, что можно определить алгебраические структуры, в которых отражены подобные схожие черты. После определения подобных структур природа алгебраических операций, лежащих в их основе, уходит на второй план, уступая место абстракции.

Чтобы читатель смог прочувствовать прелесть абстрактной алгебры, познакомим его с понятием группы, что поможет прояснить многие неясные моменты.

Группа – это множество G, на котором определена операция *, удовлетворяющая трем следующим условиям:

  1. эта операция является ассоциативной, то есть для любых трех элементов множества справедливо соотношение $a*(b*c)=(a*b)*c$;
  2. существует нейтральный элемент множества, такой, что $e*a=a*e=a$;
  3. для каждого элемента а множества G существует обратный элемент $a^-1$, также принадлежащий множеству G, для которого справедливо $a * a^{-1}=a^{-1} * a=e$.

Когда мы складываем два любых числа (например, 2 и 3) и получаем результат (5), то группируем числа по два и связываем с ними третье число.

Мы можем записать сумму чисел в следующем, пусть и не совсем удобном виде:

$(2, 8 ) \rightarrow 10$,
$(15, 3) \rightarrow 18$,
$(1,374) \rightarrow 375$.

Определить операцию на множестве означает присвоить определенный объект каждой паре элементов этого множества.

Например, в случае с умножением натуральных чисел мы устанавливаем следующее соответствие: $(2, 8 ) \rightarrow 16; (15,3) \rightarrow 45; (1,374) \rightarrow 374$.

Числа можно брать не только попарно, но и тройками или четверками. Далее мы будем рассматривать только операции, называемые бинарными, которые связывают определенное значение с каждой парой элементов множества. В принципе, ничто не мешает нам определить на множестве натуральных чисел такую операцию: $(2, 8 ) \rightarrow A; (15,3) \rightarrow B; (1,374) \rightarrow C$ при условии, что подобный объект будет однозначно определен для каждой пары элементов. Говорят, что операция определена корректно, если каждой паре элементов множества ставится в соответствие единственный объект.

Рассмотрим, что означает понятие внутренней операции на множестве. В двух первых примерах результатом действия с двумя натуральными числами являются натуральные числа. В третьем примере это не так. Если результатом операции над двумя элементами множества является элемент этого же множества, то подобная операция называется внутренней. Например, сложение и умножение целых чисел являются внутренними операциями, так как результатом сложения или умножения целых чисел всегда будет целое число.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 1,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *