Понятие группы и внутренней операции

Теория групп — одна из наиболее значимых и объединяющих теорий в математике. Группы как алгебраические структуры основаны на простых понятиях, тем не менее, они стали мощным инструментом классификации в математике и физике.Понятие группы и внутренней операции

Общие алгебраические структуры, подобные группе, определяются путем выделения определенных характеристик, общих для различных конкретных операций. Привычные операции, например сложение или умножение, имеют определенные общие свойства. К примеру, ноль в сложении и единица в умножении играют одинаковую роль. Поэтому немудрено, что можно определить алгебраические структуры, в которых отражены подобные схожие черты. После определения подобных структур природа алгебраических операций, лежащих в их основе, уходит на второй план, уступая место абстракции.

Чтобы читатель смог прочувствовать прелесть абстрактной алгебры, познакомим его с понятием группы, что поможет прояснить многие неясные моменты.

Группа – это множество G, на котором определена операция *, удовлетворяющая трем следующим условиям:

  1. эта операция является ассоциативной, то есть для любых трех элементов множества справедливо соотношение a*(b*c)=(a*b)*c;
  2. существует нейтральный элемент множества, такой, что e*a=a*e=a;
  3. для каждого элемента а множества G существует обратный элемент a^-1, также принадлежащий множеству G, для которого справедливо a * a^{-1}=a^{-1} * a=e.

Когда мы складываем два любых числа (например, 2 и 3) и получаем результат (5), то группируем числа по два и связываем с ними третье число.

Мы можем записать сумму чисел в следующем, пусть и не совсем удобном виде:

(2, 8 ) \rightarrow 10,
(15, 3) \rightarrow 18,
(1,374) \rightarrow 375.

Определить операцию на множестве означает присвоить определенный объект каждой паре элементов этого множества.

Например, в случае с умножением натуральных чисел мы устанавливаем следующее соответствие: (2, 8 ) \rightarrow 16; (15,3) \rightarrow 45; (1,374) \rightarrow 374.

Числа можно брать не только попарно, но и тройками или четверками. Далее мы будем рассматривать только операции, называемые бинарными, которые связывают определенное значение с каждой парой элементов множества. В принципе, ничто не мешает нам определить на множестве натуральных чисел такую операцию: (2, 8 ) \rightarrow A; (15,3) \rightarrow B; (1,374) \rightarrow C при условии, что подобный объект будет однозначно определен для каждой пары элементов. Говорят, что операция определена корректно, если каждой паре элементов множества ставится в соответствие единственный объект.

Рассмотрим, что означает понятие внутренней операции на множестве. В двух первых примерах результатом действия с двумя натуральными числами являются натуральные числа. В третьем примере это не так. Если результатом операции над двумя элементами множества является элемент этого же множества, то подобная операция называется внутренней. Например, сложение и умножение целых чисел являются внутренними операциями, так как результатом сложения или умножения целых чисел всегда будет целое число.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>