Развитие теории множеств

Диаграммы Венна

Диаграммы Венна — это печально известные среди студентов кружочки, которые в изобилии встречаются в учебниках. Когда преподаватель подходит к чистой доске, начинает рисовать замкнутую кривую и говорит: «Это множество А», то на лицах студентов ясно читается: «Добром это не кончится».

Джон Венн (1834-1923) был священником англиканской церкви, став затем преподавателем логики и теории вероятностей в Кембриджском университете. Венн разработал простую систему диаграмм, облегчающую понимание определенных операций на множествах, но никто и представить не мог, что его имя будет известно студентам половины земного шара. Диаграммы Венна включают рамку, обозначающую универсальное множество U с которым мы будем работать:множество U

В этой рамке внутренняя часть круга представляет данное множество (вместо круга может использоваться любая замкнутая кривая). Эти диаграммы очень удобны, потому что с их помощью можно наглядно представить, например, объединение двух множеств А и В (выделено синим цветом):объединение

Пересечение множеств (выделено красным):пересечение

и дополнение (выделено желтым):dopolnenieДиаграммы особенно полезны, когда используется несколько множеств: диаграммы

На последней диаграмме нетрудно заметить следующие соотношения: A\cap C=\oslash, C\subset B, A\cap B \cap D \subset A.

Логические противоречия

История теории множеств тесно связана с понятием бесконечности, в частности, с понятием истинной бесконечности, и с необходимостью создавать математические объекты с бесконечным множеством элементов. Несмотря на то, что начала теории множеств определил Бернард Больцано (1781-1848), создание теории в целом единогласно приписывается Георгу Кантору (1845-1918).

Можно сказать, что теория множеств берет начало в 1874 году, когда Кантор опубликовал в журнале Крелля работу под названием ?ber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen ( «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»). Но в 1903 году Бертран Рассел (1872-1970) показал, что теория множеств Кантора является непоследовательной. Это поставило под сомнение возможность использования понятия множества без каких-либо ограничений. Даже сам Кантор осознавал трудности, к которым приводило существование множества всех множеств, сформулировав проблемное определение множества, которое содержит само себя в качестве элемента.

Однако вскоре теория Эрнста Цермело (1908) и ее уточнения, разработанные Френкелем (1922), Сколемом (1923), фон Нейманом (1925) и другими авторами, сформировали фундамент, на котором и строится теория множеств в ее нынешнем виде.

Булева алгебра

Джордж Буль (1815-1864) был английским математиком-самоучкой, который в 1847 году написал небольшой труд «Математический анализ логики», оказавший значительное влияние на философский мир и ознаменовавший начало смещения логики в сторону математики, а не метафизики. Семь лет спустя Буль опубликовал знаменитые «Законы мышления» — труд, в котором он заложил основы, позволившие превратить формальную логику в новую разновидность алгебры. Позднее Бертран Рассел после прочтения этой книги сказал, что чистая математика была открыта именно Булем. Булева алгебра основана на теории множеств, сумма в ней приравнивается к объединению множеств, а произведение — к пересечению множеств. За нуль было принято пустое множество, а за единицу («единицу» при умножении) — универсальное множество. Таким образом, множества можно складывать и перемножать аналогично целым числам. Буль показал, что эти операции над множествами эквивалентны математическим символам и действиям, использующимся в символической логике.

В 1938 году Клод Элвуд Шеннон (1916-2001) представил булеву алгебру для двух значений и тем самым превратил ее в один из важнейших теоретических инструментов за всю историю технологии. С этого момента булева алгебра стала грамматикой компьютерного языка, поскольку она дала возможность описать свойства электрических цепей. Используем ли мы компьютер, переходим ли дорогу на светофоре, смотрим на электронные часы, пользуемся связью, включаем бытовую технику или поднимаемся в самолет — глубоко внутри всех этих механизмов работает булева алгебра.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>