Геодезические линии на конической и сферической поверхности

Продолжим опыты с карандашом и бумагой, чтобы увидеть, какие особенности имеют геодезические линии на конических поверхностях. Чтобы построить конус, проще всего провести дугу окружности с помощью циркуля, после чего соединить крайние точки дуги с центром окружности. Свернув лист и склеив его прямые края, мы получим конус. Он будет широким или узким в зависимости от величины угла \alpha, который называется углом раствора конуса.конус

Конус также имеет прямые, называемые образующими. Это прямые, которые соединяют вершину конуса с точками на его основании. В конусе мы можем построить винтовую линию той же формы, что и для цилиндра. Для этого достаточно нарисовать кривую, пересекающую все образующие под одинаковым углом. Однако эти кривые, получившие название локсодромы, на поверхности конуса не являются геодезическими.

Игра, о которой мы рассказывали в статье «Геодезические линии», заключается в нанесении на поверхность двух точек и проведении кратчайшей линии между ними. В случае с конусом эта задача способна принести немало сюрпризов, поскольку форма геодезических линий в значительной мере зависит от угла \alpha, который мы использовали при построении конуса. Геодезические линии могут даже пересекать сами себя в некоторых точках конической поверхности (эти точки получили название точек самопересечения). Это надо знать, так данные знания помогут при решении контрольной по геодезии.

С помощью листа бумаги и ножниц интересно попробовать разные варианты и увидеть, что в некоторых случаях точек самопересечения может быть больше одной. Есть даже теорема о существовании подобных точек. Она гласит:

«Если угол раствора конуса равен 180° и более, то геодезические линии не имеют точек самопересечения. В случае если угол раствора меньше 180°, каждая геодезическая линия имеет по меньшей мере одну точку самопересечения ».

Геодезические линии на конической поверхности

До сих пор мы говорили о геодезических линиях на поверхностях многогранников, призм, пирамид, цилиндров или конусов, потому что эти фигуры можно развернуть в плоский лист. Поверхности такого типа в математике получили название развертывающихся поверхностей. Хотя их точное определение достаточно сложно, на интуитивном уровне мы понимаем, что подобные поверхности способны развертываться в часть плоскости, то есть полностью раскладываться на поверхности стола. Однако в случае со сферой это невозможно, потому что она не является развертывающейся поверхностью.

Сферу невозможно развернуть на плоскости без деформирования. Из всех возможных кривых, которые можно провести на сферической поверхности, одна является особенной. Это так называемый большой круг, центр и радиус которого совпадают с центром и радиусом сферы. Когда мы разрезаем апельсин пополам, то разрез проходит точно по большому кругу. Любой другой разрез пройдет по меньшим окружностям.сфера

Допустим, что на поверхности сферы имеются две произвольные точки А и В. Проведем большой круг, проходящий через обе эти точки. Можно показать, что расстояние АВ, которое определяется проведенным большим кругом, является кратчайшим расстоянием между двумя этими точками. Таким образом, на сферической поверхности геодезические линии проходят по большим кругам сферы.Геодезические линии на сферической поверхности

Геодезические линии сферы также называются ортодромами. Если обе точки расположены на противоположных концах диаметра сферы, существует бесконечное число больших кругов, проходящих через обе точки, то есть бесконечное количество геодезических линий.

Как видите, математика наука точная и здесь изменить суть почти невозможно, все конкретно и однозначно.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>