Симметрии на плоскости и в пространстве

Центральная симметрия с центром в точке C (a,b) описывается уравнениями \frac{x+x'}2=a, x'=-x+2a или, что то же самое, \frac{y+y'}2=b, y'=-y+2b.

Например, если центр симметрии находится в точке C(1,2), то симметричной точке А(2, 3) будет точка А'(0,1), так как x'=-2+2 \times 1=0, y'=-3+2 \times 2=1.

Декартовы уравнения, описывающие осевую симметрию, более сложны, так как осью симметрии может быть любая прямая на плоскости, и чтобы описать ее, потребуется прибегнуть к тригонометрическим функциям. Существуют, однако, три простых случая.

Осевая симметрия относительно оси ОХ

Осевая симметрия относительно оси ОХ

x'=x

y'=-y

Таким образом, чтобы найти точку, симметричную заданной, достаточно оставить неизменной первую координату и поменять знак у второй. Например, точкой, симметричной точке A(3,-2), будет точка А’(3,2).

Симметрия относительно оси OY

Симметрия относительно оси OY

x'=-x

y'=y

В этом случае для нахождения симметричной точки нужно поменять знак первой координаты и оставить неизменной вторую. Например, точкой, симметричной точке А (-3, 9) относительно оси ОУ, является точка А’(3,9).

Симметрия относительно биссектрисы y=x

Симметрия относительно биссектрисы y=x

x'=y

y'=x

Таким образом, достаточно только поменять значения координат местами. То есть точкой, симметричной точк с А(5,1), будет точка А’(1,5).

Симметрии в пространстве

В пространстве также существуют центральная и осевая симметрии (относительно точки или прямой), определяемые примерно так же, как и на плоскости, но с тремя координатами вместо двух. Безусловно, существует еще и третья возможность — симметрия относительно плоскости, так называемая зеркальная симметрия. Строится она следующим образом. Предположим, что Р — плоскость симметрии (симметрия в таком случае обычно обозначается символом ). Чтобы найти преобразование точки А, проводится перпендикуляр к плоскости, проходящий через данную точку. Точкой, симметричной заданной, будет точка А’ находящаяся на этом перпендикуляре и удаленная от плоскости Р на такое же расстояние, что и точка А.Симметрии в пространстве

Инвариантные элементы зеркальной симметрии:

  1. все точки на плоскости Р;
  2. прямые, перпендикулярные Р (но не точки этих прямых);
  3. плоскости, перпендикулярные Р (тоже плоскости в целом, но не элементы, их составляющие).

Зеркальная симметрия не только является инволютивным преобразованием, но и имеет следующие свойства:

  1. сохраняет расстояния между точками;
  2. переводит прямые в прямые;
  3. переводит плоскости в плоскости.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 1,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>