Графическое изображение функций

Многие пугаются, когда видят формулу, подобную этой: f(x)=x^2.

И хотя язык математики очень краток, тем не менее, он одновременно и очень прост, ведь он должен быть не только точен, но и удобен в применении. Предыдущее выражение означает, что перед нами функция f, которая каждому числу ставит в соответствие его квадрат: f(2)=4; f(5)=25; f(138)=19044.таблица значений функции

Можно сказать, что 4 — это образ 2, а 19044 — образ 138, и, обобщая, х2 — это образ х.

А вот эта формула, например, g(х)=2х+1 означает, что для получения образа числа необходимо сначала умножить его на 2, а затем к результату прибавить 1: g(2)=2x2+1=5; g(5)=2x5+1=11; g(138)=2х138+1=277.

В предыдущей статье мы видели таблицу значений и искали функцию, чтобы связать заданные числа. А если у нас уже есть функция, то построение таблицы — уже чисто механический процесс.

Более того, мы также можем построить график функции, если зададим систему координат. Здесь абсцисса представляет собой переменную функции, х, а ордината — значение самой функции,y. Таким образом, функция также может быть представлена в следующем виде: y=f(x).график функции

Из формулы видно, что самый естественный способ описания функции — через значение ординаты графика кривой. Иногда отношение между х и у задается неявно посредством уравнения вида F(x,y)=0, где F — функция с двумя переменными. Например, функции f(x)=x2 соответствует следующий неявный вид: у-х2=0, который можно записать как F(x,y)=у-х2.

Самый простой способ начертить график функции — это построить его по точкам, создав таблицу значений. Правда, в большинстве случаев этот метод наименее эффективный. Мы уже видели, что такая тактика может быть результативной в очень простых случаях, как в примере с изображением прямой: ведь чтобы начертить прямую, необходимо знать координаты лишь двух точек, через которые она проходит.

Но в случае нелинейной формулы, то есть когда переменная х возводится в степень, большую единицы, мы получаем кривую, которая в некоторых случаях может быть гармоничной и даже прекрасной в своей предсказуемости, а в других — ужасно капризной и абсолютно неуправляемой. Часто бывает, что нелинейную функцию даже невозможно изобразить.

Поэтому для графического изображения функций в очень сложных случаях необходимы аналитические техники, позволяющие узнать форму кривой вслепую. Для этого изучается целый ряд признаков кривой: возрастание или убывание, максимумы и минимумы, кривизна, вогнутость-выпуклость, пересечение с осями координат, непрерывность и многие другие. Эти методы позволяют из формулы вида f(x)=sin(1/х) почти магическим образом получить следующий график.функция

Все эти методы сформировались в результате длительного исторического развития начавшегося с зарождением математики в вавилонской культуре и продлившегося до начала XIX века.

Часть этой истории развития можно рассказать на элементарном уровне. Не будет преувеличением добавить, что на задачках по графическому изображению функций можно проверять 75% знаний по математике, получаемых в средней школе. Отметим также безусловную педагогическую ценность таких задач: работа с аналитической формулой функции, изучение ее свойств с целью получить возможность ее изобразить в научном сообществе понимается как настоящее исследование, во многих аспектах даже несколько «детективное». Более того: это, пожалуй, первое научное исследование, с которым сталкивается ученик в своей школьной жизни. Что формирует дальнейшее его видение Мира, частично удовлетворяет его любопытство. Здесь надо уметь найти правильный подход и точно знать как отвечать на детские вопросы, которые нам - взрослым часто кажутся нелепыми, но они такие важные для ребенка.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>