Вогнутость и выпуклость функции, касательная

Рассмотрим другие характеристики функций вогнутость и выпуклость. Речь снова идет об интуитивном понятии, ведь все знают, когда поверхность вогнута, а когда выпукла. Если на столе мы видим предмет, способный вместить в себя жидкость, мы говорим, что он вогнутый (как, например, миска). Этот же предмет, если его перевернуть и снова Вогнутость и выпуклость функцииположить на стол, продемонстрирует нам выпуклую поверхность. То есть вогнутые поверхности дальше от нас, а выпуклые ближе. Но это зависит от точки зрения. Один и тот же предмет может быть вогнутым или выпуклым в зависимости от того, с какой стороны на него смотреть.

Когда речь идет о функциях, применяется следующий подход: мы «встаем» на горизонтальную ось и смотрим вверх. И это все. Но все же нам нужно более строгое определение. Для того чтобы его получить, мы сделаем следующее. Возьмем две любые точки на кривой и соединим их хордой. Если функция расположена сверху хорды, то она выпуклая в интервале, определенном точками; а если снизу, то она вогнутая.

Вогнутость и выпуклость — это характеристики, которые связаны с понятием кривизны, так как они однозначно определяют направление изгиба графика кривой.

Точка, в которой функция изменяется с вогнутой на выпуклую или наоборот, называется точкой перегиба.

Одним из величайших открытий, сделанных в изучении функций, стало аналитическое определение касательной, то есть определение уравнения касательной прямой в точке на заданной кривой. В общем случае можно сказать, что касательная прямая — это прямая, которая касается кривой в одной точке, не пересекая ее.касательная

Посмотрим, что происходит с касательной, когда мы приближаемся к максимуму.касательная

Видим, что касательная образует угол меньше 90° с осью ОХ на тех интервалах, где функция возрастает, и угол больше 90° на интервалах, где функция убывает. Изменяя свой наклон, касательная непременно пройдет через точку касания, где, находясь в горизонтальном положении, составит угол в 0° с осью абсцисс. Это происходит всегда, когда мы встречаемся с максимумом. То же самое происходит и в точках минимума, ведь касательная, проходящая через них, тоже горизонтальна. Но горизонтальность касательной в какой-либо точке не является гарантией, не является достаточным условием того, что в этой точке функция проходит максимум или минимум. Может случиться так, что речь будет идти о точке перегиба — о той точке, которая отделяет вогнутую зону от выпуклой. Тем не менее в ситуации, когда угол между касательной и осью абсцисс равен нулю, всегда есть возможность определить аналитическими методами, идет ли речь о пределе (максимуме или минимуме) или же о точке перегиба.

А если вы не очень любите точные науки, то можете почитать про социальные науки на сайте estnauki.ru, а также естественные и гуманитарные.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>