Бесконечные множества

Идея бесконечности для нас скорее абстракция, чем нечто ощутимое. Несмотря на это, бесконечность является неотъемлемой частью человеческой природы, ведь каждый из нас практически ежедневно сталкивался с бесконечными множествами.

На протяжении многих веков математики ломали голову над бесконечными множествами. Доходило до того, что многие математики просто не признавали существование подобных множеств, ведь это влечет за собой многочисленные парадоксы. Один из них касается множеств, которые могут быть частично эквивалентны. Например, множество натуральных чисел, то есть ряд вида:

1, 2, 3, 4, 5,...

образован бесконечным множеством чисел. Интуитивно понятно, что приблизительно половина из них являются четными. Однако это не так. Удивительно, но четных чисел столько же, сколько и натуральных! Показать это очень просто. Установим между ними следующее соответствие:соответствие

Имея любое натуральное число, мы можем умножить его на 2 и получить соответствующее ему четное число. И напротив, имея любое четное число и разделив его на 2, мы получим соответствующее ему натуральное число. Теперь очевидно, что количество натуральных и четных чисел одинаково.

Бесконечная гостиница

Бесконечная гостиницаЭта математическая задача является классикой жанра. Гостиница «Алеф» бесконечна. Фактически в ней проживает бесконечное число постояльцев, у каждого есть свой номер, начиная с единицы: 1,2,3,4,5, б, 7,8,... Директор гостиницы очень доволен, ведь все номера заняты. Однако в один прекрасный день более миллиарда китайцев решают разом отправиться в отпуск и подходят к стойке регистрации. Как же поступить директору?

Ему достаточно произвести одно простое изменение. Каждый уже проживающий гость переедет в комнату с номером, равным предыдущему номеру, умноженному на 2. Нетрудно видеть, что все нечетные номера окажутся пусты, но при этом ни одному из прежних постояльцев не нужно будет съезжать из гостиницы. Фактически, в гостинице будет достаточно номеров не только для более чем миллиарда китайцев, которые сейчас живут на земле, но и для всех, которые когда-либо родятся в будущем.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>