Фундаментальная теорема

Мы уже убедились в том, что если числовая последовательность имеет предел, то элементы этой последовательности приближаются к нему максимально плотно. Даже на очень маленькой дистанции всегда можно найти два элемента, чья дистанция будет еще меньше. Это называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью Коши. Можем ли мы утверждать, что данная последовательность имеет предел? Если она формируется на числовой оси, то есть все ее члены являются вещественными числами, то ответ — да. Таким образом, мы пришли к одной из самых важных теорем в математическом анализе, которая совершенно точно утверждает, что

«во множестве вещественных чисел любая фундаментальная последовательность сходится».

Ахиллес и черепахаАхиллес и черепаха

Зенон Элейский (490-430 гг. до н.э.) был учеником великого философа Парменида, главного сторонника идеи о том, что движение и изменения — иллюзорны. Чтобы поддержать своего учителя, Зенон подготовил ряд парадоксальных рассуждений (апорий), которые в дальнейшем занимали умы философов на протяжении тысячелетий.

Апория об Ахиллесе и черепахе такова: Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади нее на расстоянии в тысячу шагов. В течение времени, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползет еще десять шагов, затем один шаг, десятую шага, и т.д. Этот процесс будет длиться нескончаемо долго, и Ахиллес никогда не догонит черепаху, потому что он должен будет покрыть бесконечное число этапов. Но парадокс рассеивается благодаря концепции о пределе.

Мнимая безусловность в аргументации Зенона — в том, что бесконечная последовательность времени, увеличивающегося с каждым разом, — то же самое, что бесконечное время. Но это не всегда так. Последовательность времени в нашей задаче является сходящейся, и то время, которое Ахиллес потратит на погоню за черепахой, это и есть его предел, имеющий завершение. Если скорость Ахиллеса, например, 20 шагов в секунду, то его время прохождения в секунду последовательно позиции черепахи имеет следующее значение: 5  5,5  5,55  5,555  5,5555...

Данная последовательность сходится относительно десятичной дроби 5,55555... = 5,5, и результат получается такой: 50/9. Это и есть время в секундах, в течение которого длится преследование.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>