Плотная бесконечность и дискретная бесконечность

Все ли бесконечности одинаковы? Прежде чем ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим природу различных бесконечных множеств. Покажем сначала существенное различие между, например, множеством натуральных и множеством рациональных чисел.Плотная бесконечность и дискретная бесконечность

Прежде всего определим, какие числа являются рациональными. На языке математики рациональными числами считаются числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Например, 2/3, -1/5,8/4,0/157, -236/1024,.. Очевидно, что натуральные числа также являются рациональными, поскольку

2=2/1=4/2=8/4=...
3=3/1=6/2=9/3=...

Поэтому если натуральных чисел бесконечно много, то же самое можно сказать и о рациональных числах, так как они включают в себя все натуральные числа. Несмотря на это, между множеством натуральных чисел и множеством рациональных чисел существует едва заметная разница. Первое из них называется дискретным, в отличие от второго, которое называется плотным множеством. Это простые понятия, имеющие, однако, большое значение. Натуральных чисел может быть сколько угодно, но между двумя соседними нельзя поместить еще одно: между натуральными числами 453 и 454 нет никакого другого натурального числа. С рациональными числами все иначе: между числом a и числом b всегда располагается число (a+b)/2, тоже являющееся рациональным. Например, между 5,3 и 5,4 находится \frac{5,3+5,4}{2}=5,35.

Это же можно выразить и другими словами: имея любое натуральное число, мы всегда можем сказать, какое число будет следовать непосредственно за ним. Никто не подвергает сомнению тот факт, что после 14 следует 15. Однако сказать то же самое о рациональных числах нельзя. Какое число следует непосредственно за 1/3? На этот вопрос нет ответа. В этом и заключается плотность множества.

Суть этого явления глубже, чем может показаться. Так, мы можем показать, что между двумя натуральными числами 2 и 6 существует только три других натуральных числа (3,4 и 5). Аналогично мы можем показать, что между двумя любыми рациональными числами существует бесконечное множество чисел. Не стоит думать, что множество рациональных чисел ограничено десятичными дробями. Например, между 2,3 и 2,4 находятся числа 2,31, 2,326, 2,3781 ...
Кажется очевидным, что множество рациональных чисел должно быть намного «более бесконечным», чем множество натуральных. Но далее мы увидим, что это предположение неверно.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>