Предел

У понятия «предел» в течении длительного времени не было точной трактовки. Оно долго «варилось» в котле математических исследований, пока Огюстен Луи Коши не дал ему строгое определение:

«Когда значения, последовательно относящиеся к одной переменной, приближаются к максимальному постоянному значению так, что почти не отличаются от него, это значение называется пределом остальных».

Это было первое определение предела, полученное без привлечения какого-либо геометрического инструмента. В современной математике предел является одним из самых загадочных понятий. Многие студенты оканчивают вузы, так и не Пределпоняв этот предмет до конца. Хотя бы из чистого любопытства давайте рассмотрим современное определение предела последовательности a_n:
 \lim_{n \to \infty}a_n=a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in N |n>n_0 \Rightarrow |a-a_n|<\varepsilon .

Отчасти сложность этого выражения заключается в точности, достигнутой благодаря различным шлифованиям (особенно в области терминологии), которые со временем повлияли на оригинальное определение Коши. В нем фигурирует знак \infty, обозначающий величину, которая не имеет четко определенных границ. Попробуем объяснить данное выше определение, проанализировав последовательность
1, \frac12, \frac13, \frac14, \frac15, \frac16,?.

Два первых члена находятся на расстоянии 1/2 (понимая под расстоянием между двумя членами последовательности расстояние между рассматриваемыми числами). И, наоборот, между вторым и третьим расстояние равно 1/3-1/4=1/12. Если мы проверим расстояния между ними, начиная с триллиона, то увидим, что те действительно очень малы. Другими словами, значения последовательности «сжимаются» к нулю, и чем ближе они к нулю, тем больше они сближаются между собой. В любом окружении точки 0 всегда есть элементы последовательности. Определение предела доказывает нам то, что каким бы маленьким ни было окружение нуля, мы всегда найдем бесконечность элементов последовательности внутри этого окружения, что никогда не случается с какими-то другими ее элементами. Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися последовательностями.

Многих художников привлекали пластические возможности понятий предела и бесконечности. На иллюстрации — одна из работ голландского художника Маурица Корнелиса Эшера  (1898—1972), вдохновленного этой темой.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>