Трансфинитные числа

Но внезапно появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в описаных ранее трех множествах. Здесь Кантор задает один из самых революционных вопросов за всю историю математики: все ли бесконечности одинаковы, либо некоторые из них больше, а некоторые меньше? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество вещественных чисел, которое больше, чем множества Трансфинитные числанатуральных и рациональных чисел, и обозначил буквой «с» число элементов множества вещественных чисел. Кантор посвятил большую часть последних лет жизни попыткам показать, что с является \aleph_{1} следующим за \aleph_{0}, но ему не удалось этого сделать. Так родился раздел математики, посвященный трансфинитным числам.

Кантор доказал, что с — число точек, содержащихся на любом отрезке прямой. Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек на них будет одинаковым. Это может показаться удивительным, но доказательство этого утверждения очень простое.

Даны два отрезка S_{1} и S_{2}, их концы соединены прямыми, которые пересекаются в точке a. Для любой точки p отрезка S_{1} мы можем найти соответствующую ей точку q отрезка S_{2}. Для этого соединим точку р с точкой а. Точка, в которой продолжение данной прямой пересечется с отрезком и является искомой точкой q.

Показав, что число точек на всех отрезках одинаково и равно c, Кантор построил квадрат с помощью одного из таких отрезков. Казалось бы, число точек, содержащихся в квадрате, равно c^2=c \times c. Однако Кантор показал, что это число снова равно c. Иными словами, в квадрате как в части поверхности содержится такое же количество точек, что и на отрезке, являющемся одной из сторон квадрата, то есть c \times c=c. Следующий шаг напрашивается сам собой: на основе полученного квадрата мы строим куб, чтобы определить, чему равно произведение c \times c \times c=c^3. Как и следовало ожидать, результат будет аналогичен предыдущему: c^3=c. Получается, что число точек, содержащихся на отрезке, в квадрате и в кубе, всегда равно с. При умножении числа с на само себя любое количество раз результат будет неизменно равно этому же самому числу с.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>