.
 \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \end {array} \right ) - общий вид матриц.

 \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end {array} \right ) - общий вид треугольных матриц.
Что-бы прейти с обычной матрицы к треугольной, нужно сделать так, что-бы все числа, под главной диагональю были нулями!
Главная диагональ это -  \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} &  & & \\ & a_{22} &  & \\ &  & \ddots & \\ &  &  & a_{nn} \end {array} \right ) .
Что-бы это сделать, берём елемент a_{11} (если он не равный нулю) и начиная с второй строки елемента второго столбца считаем a_{ij}=a_{ij}*a_{11}-a_{1j}*a_{i1} (индекс  i - это номер строки, а j - номер столбца) и то что выйдет пишен на соответствуючее место. При этом первую строку переписываем ничего не миняя, а в первом столбце вместо всех елементов которые ниже a_{11} ставим ноль. Потом точно также берём a_{22} и начиная с третьей строки елемента третьего столбца считаем a_{ij}=a_{ij}*a_{22}-a_{2j}*a_{i2}. При этом первую, вторую строку и первый столбец переписываем ничего не миняя, а во втором столбце вместо всех елементов которые ниже a_{22} ставим ноль. И так делаем до конца! Пока не дойдём до виду:
 \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end {array} \right ) если число строк и столбцов совпадает;

 \left ( \begin {array} {cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & \ldots & a_{1m}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} & \ldots & a_{nm} \end {array} \right ) если число строк меньше за число столбцов;

 \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ 0 & 0 & \ldots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots &0\\ \end {array} \right ) если число строк больше за число столбцов.

 \left | \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right | - определитель матрицы.
Вичислить определитель (детерминант) матрицы можна с помощью алгерагичних дополнений, или преобразованием матрицы до треугольной и потом перемножив елементы, которые стоят на главной диагонали. В последнем случае нужно учитывать свойства определителя!
Свойства определителя:

  1. При транспонировании значение определителя не меняется.
  2. Если в определителе поменять местами две строки (или два столбца), то абсолютное значение не поменяется, а знак поменяется на противоположный.
  3. Если все елементы любого столбца (илил строки) равны нулю, то и определитель равный нулю.
  4. Если в определителе есть два одинаковых столбца (или две одинаковых строки), то определитель равный нулю.
  5. Если все елементы любого столбца (илил строки) умножить на число k, то определитель увеличится в k раз.
  6. Если в определителе елементы i-ой строке есть сложением двох слагаемых, то этот определитель равный сложению двох определителей, в которых все строки кроме i-ой такие же, как в данном определителе, а i-та строка первого опредлителя складывается с первых слагаемых, а второго - с вторых.
  7. Если любой столбец (строка) определителя есть линейной комбинации других столбцов (строк), то определитель равный нулю.
  8. Определитель не меняется, если к елентам любого столбца (строки) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

Умножение матриц.
Что-бы умножить одну матрицу на другую необходимо, что-бы число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй. Если у нас есть две матрицы размерности m \times n и n \times r, то после их умножение выйдет матрица m \times r. Елементами такой матрицы будет сложение умножений соответствующих елементов i-той строки первой матрицы на i-той столбец второй матрицы.
 \left ( \begin {array} {cccc}  a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end {array} \right ) - первая матрица;

 \left ( \begin {array} {cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1r}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nr} \end {array} \right ) - вторая матрица;

 \left ( \begin {array} {ccc} a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+\ldots+a_{1n}*b_{n1} & \ldots & a_{11}*b_{1r}+a_{12}*b_{2r}+\ldots+a_{1n}*b_{nr}\\ \vdots  & \ddots & \vdots\\ a_{m1}*b_{11}+a_{m2}*b_{21}+\ldots+a_{mn}*b_{n1} & \ldots & a_{m1}*b_{1r}+a_{m2}*b_{2r}+\ldots+a_{mn}*b_{nr}\\ \end {array} \right ) - исходная матрица.
Обратная матрица.
Чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице неоходимо и достаточно, чтобы её определитель не был равный нулю. Есть два способа нахождения обратной матрицы: первый - это с помощью алгерагичних дополнений, а второй с помощью елементарных преобразований матрицы.
Матрица A будет обратной к матрице B, если A \times B = B \times A = E, где
 E = \left ( \begin {array} {cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end {array} \right ) - единичная матрица.
Если мы имеем квадратную матрицу n \times n
 \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right )
что-бы найти обратную к ней дописываем справа единичную
 \left ( \begin {array} {cccccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}&1 & 0 & \ldots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}&0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}& 0 & 0 & \ldots & 1 \end {array} \right )
и с помощью елементарных преобразований делаем слева единичную,
 \left ( \begin {array} {cccccccc} 1 & 0 & \ldots & 0&c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ 0 & 1 & \ldots & 0&c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1&c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \end {array} \right )
тогда та матрица, что выйдет слева и будет обратной
 \left ( \begin {array} {cccc} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \end {array} \right ) - обратная матрица!

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 3,00 с 5)
Loading...Loading...