Математика, решение онлайн!!!

.
$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\<br /> a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm}<br /> \end {array} \right )$ - общий вид матриц.

$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\<br /> 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots & a_{nn}<br /> \end {array} \right )$ - общий вид треугольных матриц.
Что-бы прейти с обычной матрицы к треугольной, нужно сделать так, что-бы все числа, под главной диагональю были нулями!
Главная диагональ это - $\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & & & \\<br /> & a_{22} & & \\<br /> & & \ddots & \\<br /> & & & a_{nn}<br /> \end {array} \right )$.
Что-бы это сделать, берём елемент $a_{11}$ (если он не равный нулю) и начиная с второй строки елемента второго столбца считаем $a_{ij}=a_{ij}*a_{11}-a_{1j}*a_{i1}$ (индекс $i$ - это номер строки, а $j$ - номер столбца) и то что выйдет пишен на соответствуючее место. При этом первую строку переписываем ничего не миняя, а в первом столбце вместо всех елементов которые ниже $a_{11}$ ставим ноль. Потом точно также берём $a_{22}$ и начиная с третьей строки елемента третьего столбца считаем $a_{ij}=a_{ij}*a_{22}-a_{2j}*a_{i2}$. При этом первую, вторую строку и первый столбец переписываем ничего не миняя, а во втором столбце вместо всех елементов которые ниже $a_{22}$ ставим ноль. И так делаем до конца! Пока не дойдём до виду:
$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\<br /> 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots & a_{nn}<br /> \end {array} \right )$ если число строк и столбцов совпадает;

$\left ( \begin {array} {cccccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & \ldots & a_{1m}\\<br /> 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} & \ldots & a_{2m}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots & a_{nn} & \ldots & a_{nm}<br /> \end {array} \right )$ если число строк меньше за число столбцов;

$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\<br /> 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\<br /> 0 & 0 & \ldots &0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots &0\\<br /> \end {array} \right )$ если число строк больше за число столбцов.

$\left | \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\<br /> a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}<br /> \end {array} \right |$ - определитель матрицы.
Вичислить определитель (детерминант) матрицы можна с помощью алгерагичних дополнений, или преобразованием матрицы до треугольной и потом перемножив елементы, которые стоят на главной диагонали. В последнем случае нужно учитывать свойства определителя!
Свойства определителя:

1. При транспонировании значение определителя не меняется.
2. Если в определителе поменять местами две строки (или два столбца), то абсолютное значение не поменяется, а знак поменяется на противоположный.
3. Если все елементы любого столбца (илил строки) равны нулю, то и определитель равный нулю.
4. Если в определителе есть два одинаковых столбца (или две одинаковых строки), то определитель равный нулю.
5. Если все елементы любого столбца (илил строки) умножить на число $k$, то определитель увеличится в $k$ раз.
6. Если в определителе елементы $i$-ой строке есть сложением двох слагаемых, то этот определитель равный сложению двох определителей, в которых все строки кроме $i$-ой такие же, как в данном определителе, а $i$-та строка первого опредлителя складывается с первых слагаемых, а второго - с вторых.
7. Если любой столбец (строка) определителя есть линейной комбинации других столбцов (строк), то определитель равный нулю.
8. Определитель не меняется, если к елентам любого столбца (строки) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

Умножение матриц.
Что-бы умножить одну матрицу на другую необходимо, что-бы число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй. Если у нас есть две матрицы размерности $m \times n$ и $n \times r$, то после их умножение выйдет матрица $m \times r$. Елементами такой матрицы будет сложение умножений соответствующих елементов $i$-той строки первой матрицы на $i$-той столбец второй матрицы.
$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\<br /> a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}<br /> \end {array} \right )$ - первая матрица;

$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1r}\\<br /> b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2r}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nr}<br /> \end {array} \right )$ - вторая матрица;

$\left ( \begin {array} {ccc}<br /> a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+\ldots+a_{1n}*b_{n1} & \ldots & a_{11}*b_{1r}+a_{12}*b_{2r}+\ldots+a_{1n}*b_{nr}\\<br /> \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> a_{m1}*b_{11}+a_{m2}*b_{21}+\ldots+a_{mn}*b_{n1} & \ldots & a_{m1}*b_{1r}+a_{m2}*b_{2r}+\ldots+a_{mn}*b_{nr}\\<br /> \end {array} \right )$ - исходная матрица.
Обратная матрица.
Чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице неоходимо и достаточно, чтобы её определитель не был равный нулю. Есть два способа нахождения обратной матрицы: первый - это с помощью алгерагичних дополнений, а второй с помощью елементарных преобразований матрицы.
Матрица $A$ будет обратной к матрице $B$, если $A \times B = B \times A = E$, где
$E = \left ( \begin {array} {cccc}<br /> 1 & 0 & \ldots & 0\\<br /> 0 & 1 & \ldots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots & 1<br /> \end {array} \right )$ - единичная матрица.
Если мы имеем квадратную матрицу $n \times n$
$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\<br /> a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}<br /> \end {array} \right )$
что-бы найти обратную к ней дописываем справа единичную
$\left ( \begin {array} {cccccccc}<br /> a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}&1 & 0 & \ldots & 0\\<br /> a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}&0 & 1 & \ldots & 0\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}& 0 & 0 & \ldots & 1<br /> \end {array} \right )$
и с помощью елементарных преобразований делаем слева единичную,
$\left ( \begin {array} {cccccccc}<br /> 1 & 0 & \ldots & 0&c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\<br /> 0 & 1 & \ldots & 0&c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> 0 & 0 & \ldots & 1&c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn}<br /> \end {array} \right )$
тогда та матрица, что выйдет слева и будет обратной
$\left ( \begin {array} {cccc}<br /> c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\<br /> c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\<br /> \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\<br /> c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn}<br /> \end {array} \right )$ - обратная матрица!

В Мой Мир

Tweet

0

Комментарии запрещены.