Квадратным уравнением называется уравнение вида
ax^2 + bx + c = 0
Оно может иметь один корень, два или ни одного (в поле вещественных чисел).
Сначала нужно вычислить дискриминант D=b^2-4ac , если:

  • D > 0, уравнения имеет два корня;
  • D = 0, уравнение имеет один корень;
  • D < 0, уравнение не имеет корней (в поле вещественных чисел).

Корни ищем по формулах:
x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};
x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.

Вы можете посмотреть, как данные формулы применяется на практике на странице онлайн решения квадратного уравнения уравнения или же в специальном видео-уроке!

Кубическим уравнением называется уравнение вида
ax^3 + bx^2 + cx +d = 0 , (1)
где a, b,c ,d - постоянные коэффициенты, а  x - переменная.
Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются вещественными числами.
Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:
 \delta= -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2.
Итак, возможны только 3 следующих случая:

  •  \delta>0 - тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня)
  •  \delta<0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
  •  \delta=0 - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2-умя совпадающими корнями, и еще 1-ним отличным от них, либо с уравнением с 3-емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результат его и его второй производной равен нулю).

На практике часто, решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень  \alpha . Затем делим многочлен на  (x- \alpha), (если  \alpha корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.
Формула Кардано.
Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комплексных чисел).
Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида
y^3 + py + q = 0 (2)
К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:
x= y -\frac {b}{3a} (3)
p= - \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}
q= \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}
Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:
Q=(\frac{p}{3})^3 + (\frac{q}{2})^2
\alpha = (-\frac{q} {2} + Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}
\beta = (-\frac{q} {2} - Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}
Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен
\delta = - 108Q
Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:
y_1= \alpha + \beta;
y_2= - \frac{\alpha + \beta}{2} + 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha - \beta}{2}i;
y_3 = - \frac{\alpha + \beta}{2} - 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha - \beta}{2}i.
Вы можете посмотреть, как описанный метод применяется на практике на странице онлайн решения кубического уравнения!

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (5 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Loading...Loading...