$ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \end {array} \right ) $ — общий вид матриц.

$ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end {array} \right ) $ — общий вид треугольных матриц.
Что-бы прийти с обычной матрицы к треугольной, нужно сделать так, что-бы все числа, под главной диагональю были нулями!
Главная диагональ это — $ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end {array} \right ) $.
Что-бы это сделать, берём элемент $a_{11}$ (если он не равный нулю) и начиная с второй строки элемента второго столбца считаем $a_{ij}=a_{ij}*a_{11}-a_{1j}*a_{i1}$ (индекс $ i $ — это номер строки, а $j$ — номер столбца) и то что выйдет пишем на соответствующее место. При этом первую строку переписываем ничего не меняя, а в первом столбце вместо всех элементов которые ниже $a_{11}$ ставим ноль. Потом точно также берём $a_{22}$ и начиная с третьей строки элемента третьего столбца считаем $a_{ij}=a_{ij}*a_{22}-a_{2j}*a_{i2}$. При этом первую, вторую строку и первый столбец переписываем ничего не меняя, а во втором столбце вместо всех элементов которые ниже $a_{22}$ ставим ноль. И так делаем до конца! Пока не дойдём до виду:
$ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end {array} \right ) $ если число строк и столбцов совпадает;

$ \left ( \begin {array} {cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & \ldots & a_{1m}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} & \ldots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} & \ldots & a_{nm} \end {array} \right ) $ если число строк меньше за число столбцов;

$ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}\\ 0 & 0 & \ldots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots &0\\ \end {array} \right ) $ если число строк больше за число столбцов.

$ \left | \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right | $ — определитель матрицы.
Вычислить определитель (детерминант) матрицы можно с помощью алгебраических дополнений, или преобразованием матрицы до треугольной и потом перемножив элементы, которые стоят на главной диагонали. В последнем случае нужно учитывать свойства определителя!
Свойства определителя:

  1. При транспонировании значение определителя не меняется.
  2. Если в определителе поменять местами две строки (или два столбца), то абсолютное значение не поменяется, а знак поменяется на противоположный.
  3. Если все элементы любого столбца (или строки) равны нулю, то и определитель равный нулю.
  4. Если в определителе есть два одинаковых столбца (или две одинаковых строки), то определитель равный нулю.
  5. Если все элементы любого столбца (или строки) умножить на число $k$, то определитель увеличится в $k$ раз.
  6. Если в определителе элементы $i$-ой строке есть сложением двух слагаемых, то этот определитель равный сложению двух определителей, в которых все строки кроме $i$-ой такие же, как в данном определителе, а $i$-та строка первого определителя складывается с первых слагаемых, а второго — с вторых.
  7. Если любой столбец (строка) определителя есть линейной комбинации других столбцов (строк), то определитель равный нулю.
  8. Определитель не меняется, если к элементам любого столбца (строки) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

Умножение матриц.
Что-бы умножить одну матрицу на другую необходимо, что-бы число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй. Если у нас есть две матрицы размерности $m \times n$ и $n \times r$, то после их умножение выйдет матрица $m \times r$. Элементами такой матрицы будет сложение умножений соответствующих элементов $i$-той строки первой матрицы на $i$-той столбец второй матрицы.
$ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end {array} \right ) $ — первая матрица;

$ \left ( \begin {array} {cccc} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1r}\\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nr} \end {array} \right ) $ — вторая матрица;

$ \left ( \begin {array} {ccc} a_{11}*b_{11}+\ldots+a_{1n}*b_{n1} & \ldots & a_{11}*b_{1r}+\ldots+a_{1n}*b_{nr}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1}*b_{11}+\ldots+a_{mn}*b_{n1} & \ldots & a_{m1}*b_{1r}+\ldots+a_{mn}*b_{nr}\\ \end {array} \right ) $ — исходная матрица.
Обратная матрица.
Чтобы существовала обратная матрица к квадратной матрице неоходимо и достаточно, чтобы её определитель не был равный нулю. Есть два способа нахождения обратной матрицы: первый — это с помощью алгерагичних дополнений, а второй с помощью элементарных преобразований матрицы.

Матрица $A$ будет обратной к матрице $B$, если $A \times B = B \times A = E$, где
$ E = \left ( \begin {array} {cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end {array} \right ) $ — единичная матрица.
Если мы имеем квадратную матрицу $n \times n$
$ \left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right ) $
что-бы найти обратную к ней дописываем справа единичную
$ \left ( \begin {array} {cccccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}&1 & 0 & \ldots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}&0 & 1 & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}& 0 & 0 & \ldots & 1 \end {array} \right ) $
и с помощью элементарных преобразований делаем слева единичную,
$ \left ( \begin {array} {cccccccc} 1 & 0 & \ldots & 0&c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ 0 & 1 & \ldots & 0&c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots&\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & 1&c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \end {array} \right ) $
тогда та матрица, что выйдет слева и будет обратной
$ \left ( \begin {array} {cccc} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_{n1} & c_{n2} & \ldots & c_{nn} \end {array} \right ) $ — обратная матрица!

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 3,00 с 5)
Загрузка...