Математика, решение онлайн!!!

.
Квадратное уравнением называется уравнение вида
$ax^2 + bx + c = 0$
Квадратное уравнение может иметь один корень, два или ни одного (в поле вещественных чисел).
Сначала нужно вычислить дискриминант $D=b^2-4ac$, если:

• $D > 0$, уравнения имеет два корня;
• $D = 0$, уравнение имеет один корень;
• $D < 0$, уравненение не имеет корней (в поле вещественных чисел).

Корни ищем по формулах
$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$;
$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$.
Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы.
Кубическим уравнением называется уравнение вида
$ax^3 + bx^2 + cx +d = 0$, (1)
где $a, b,c ,d$ - постоянные коэффициенты, а $x$ - переменная.
Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.
Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:
$\delta= -4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 + 18abcd - 27a^2d^2$.
Итак, возможны только 3 следующих случая:

• $\delta>0$- тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых - три различных вещественных корня)
• $\delta<0$ - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вещественный и пару комплексно сопряженных корней)
• $\delta=0$ - хотя бы 2 корня уравнения совпадают. Т.е. мы имеем дело либо с уравнением с 2-умя совпадающими корнями, и еще 1-ним отличным от них, либо с уравнением с 3-емя совпадающими корнями. (В любом случае все корни вещественные. И уравнение имеет 3 совпадающих корня, тогда и только тогда, когда результат его и его второй производной равен нулю).

На практике часто , решение кубических уравнений упирается в разложении их на множители. Т.е. алгоритм приблизительно следующий: угадываем один корень, пусть это будет корень $\alpha$. Затем делим многочлен на $(x- \alpha),$ (если $\alpha$ корень, то он должен поделиться без остатка). Ну а дальше мы имеем дело с обычным квадратным уравнением. Но угадать можно только рациональный корень, и то, если коэффициенты подобраны удачным образом, так что этот корень просто угадывается. Мы же рассмотрим универсальные методы решения кубичесих уравнений.
Формула Кардано.
Это формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения. (Над полем комлексных чисел).
Канонической формой кубического уравнения называется уравнение вида
$y^3 + py + q = 0$ (2)
К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:
$x= y -\frac {b}{3a}$ (3)
$p= - \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a}$
$q= \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}$
Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:
$Q=(\frac{p}{3})^3 + (\frac{q}{2})^2$
$\alpha = (-\frac{q} {2} + Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$
$\beta = (-\frac{q} {2} - Q^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$
Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен
$\delta = - 108Q$
Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:
$y_1= \alpha + \beta$;
$y_2= - \frac{\alpha + \beta}{2} + 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha - \beta}{2}i$;
$y_3 = - \frac{\alpha + \beta}{2} - 3^{\frac{1}{2}}\frac{\alpha - \beta}{2}i$.

Поделиться

В Мой Мир

0

Tweet

Комментарии запрещены.