Cистемы линейных уравнений

дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Cистемы линейных уравнений

Вы всегда можете заказать более подробное решение вашего задания здесь!

.
$\left \{ \begin{array}{l} x_{1}a_{11}+x_{2}a_{12}+\ldots+x_{n}a_{1n}=b_{1};\\ x_{1}a_{11}+x_{2}a_{12}+\ldots+x_{n}a_{1n}=b_{2};\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\ x_{1}a_{n1}+x_{2}a_{n2}+\ldots+x_{n}a_{nn}=b_{n}; \end{array}\right.$ - общий вид систем линейных уравнений.

Их можно решать трёма методами: метод Крамера, метод Гаусса и матричный метод.
Метод Крамера заключается в том, чтобы сначала вычислить определители:
$\delta=\left | \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right |$ - главный определитель;

$\delta_{1}=\left | \begin {array} {cccc} b_{1} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ b_{2} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right |$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots$

$\delta_{i}=\left | \begin {array} {cccccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots& a_{1i-1}&b_{1}& a_{1i+1} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots& a_{1i-1}&b_{2}& a_{1i+1} & \ldots& a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots& a_{1i-1}&b_{n}& a_{1i+1} & \ldots& a_{nn} \end {array} \right |$

$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots$
и если $\delta\ne 0$ , тогда $x_{i}=\frac{\delta_{i}}{\delta}$ .
Метод Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать матрицу у треугольну
$\left ( \begin {array} {ccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}&b_{1}\\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n}&b_{2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn}&b_{n} \end {array} \right )$
потом начиная с последьнего уравнения можна вычислить $x_{n}$ потом $x_{n-1}$ и так до $x_{1}$ .
Чтобы воспользоваться матричным методом нужно систему переписать таким способом:
$\left ( \begin {array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end {array} \right ) \times \left ( \begin {array} {c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end {array} \right ) = \left ( \begin {array} {c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end {array} \right ) $
Потом с этого уравнения найти среднюю матрицу, для этого необходимо найти обратную матрицу для первой и умножить её на третью.