Определение. Последовательностью элементов множества E называют отображение

N → E:n → xn,

то есть функция , которая каждому натуральному числу n ∈ N ставит в соответствие элемент xn ∈ E.

Элементы x1, x2, ..., xn, .... называются членами последовательность, а xn - общим членом этой последовательности.
Множество E может быть различным, как числовым (E=R), так и векторным (E=Rm), функциональным (E=C[a,b]) или даже матричным (E=M(готическое)).

Определение. Последовательность (xn) действительных числе называют сходящейся, если существует действительное число a и для ∀ ε > 0 существует такое натуральное число m, что для всех n > m справедливо неравенство:

|xn - a| < ε .

При этом число a называется пределом последовательности (xn), что символически записывают:
предел последовательности
Все выше сказанное можно записать с помощью логических символов и это будет выглядеть следующим образом: числовая последовательность (xn) называется сходящей, если:

∃ a ∈ R ∧ ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N: ∀ n > m ⇒ |xn - a| < ε .

Если последовательность не есть сходящейся, то она называется расходящейся.
Теорема. Если последовательности (xn) и (yn) действительных числе сходятся и
последовательность действительных числе
то
предел сходится
Также рассмотрим признаки существования предела.
Критерий Коши:

  1. Если
    теорема Критерий Коши
  2. Монотонная и ограниченная последовательность чисел имеет предел.
  3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
    ∀ ε > 0 ∃ m ∈ N: ∀ n > m ∧ ∀ p ∈ N ⇒ |xn+p - xn| < ε

Справедлива теорема про то, что последовательность вида n → (1+1/n)n, n ∈ N, имеет конечный предел и это будет числом eпредел числа e:

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Проголосуйте первым!)
Loading...Loading...