Математика, решение онлайн!!!

Записи с меткой «Интересные задачи»

Очевидно, пасьянсы по «треугольным» правилам можно раскладывать на других матрицах, таких как шестигранная, ромбическая, в виде шестиконечной звезды и т. д. Могут меняться и правила. Так, можно запретить скачки, параллельные одной из сторон ячейки. Обсуждение этого варианта пасьянса с 15 ячейками вы можете найти у Макси Брука в книге Fun for the Money («Пари на деньги»). Другим вариантом пасьянса может быть вариант, в котором допустимы не только скачки, но и ходы, как в китайских шашках. (Китайские шашки это «Халма» — древняя традиционная игра, в упрощенной форме известная как «уголки». Однако для классической халмы требуется специальная игровая доска в виде шестиугольной звезды.)

Если играть в треугольный пасьянс по классическим правилам, допуская скачки (только скачки) во всех шести направлениях, то с помощью изящной процедуры можно проверить, существует ли теоретическая возможность получить из одной позиции другую. Эти процедуры были получены по аналогии с уже известными для квадратного пасьянса. Подробности об этом вы можете найти в книге Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions («Галерея сюрпризов и другие математические развлечения»), где треугольным пасьянсам посвящена целая глава.

Как и в квадратном пасьянсе, эти процедуры не выявляют конкретного решения, как и не доказывают, что решения существуют. Они лишь показывают, что некоторые из задач не имеют решения. Много неопубликованных материалов накопилось у М. Чароша, Г. Дэвиса, Дж. Харриса и Уэйда Филпотта. Все методы доказательства относятся к теории коммутативных групп и построены на сопоставлении позиций. Прочитать остальную часть записи »

Эта игра пришла к нам из Китая. Для нее не нужно доски, фигур или других приспособлений. Достаточно набрать немного камешков и разложить их в две кучки. Теперь двое играющих по очереди берут камешки из этих кучек. Разрешается взять за один ход любое количество камешков из одной кучки или из двух кучек, но поровну. Выигрывает тот, кто своим ходом забирает все оставшиеся камни.

Несмотря на простоту условий этой игры, указать, кто выигрывает при конкретном наборе камешков, и найти выигрывающую стратегию в этой игре довольно сложно. Но попытаемся это сделать. Если в одной из кучек вообще нет камней, то, очевидно, выигрывает начинающий — он забирает всю вторую кучу камней. То же самое происходит, если в кучах одинаковое количество камней.

Результаты анализа ситуаций в игре мы будем заносить в таблицу. Набору камешков, скажем, 6 в первой кучке и 8 во второй в таблице соответствует клетка, стоящая на пересечении строки с цифрой 6 и столбца с цифрой 8. Если при некотором наборе камешков выигрывает тот, кто должен ходить, то мы ставим в этой клетке плюс, а если его партнер, то — минус.

Каждую клетку будем обозначать соответствующей парой чисел. Например, упомянутую клетку будем обозначать (8, 6). В клетке (0, 0), очевидно, следует поставить минус, а в клетках (k, 0), (0, k) и (k, k) для всех k, больших нуля, следует поставить плюс. Таблица начала заполняться.

Рассмотрим клетки (1, 2) и (2, 1). Любой ход из этих наборов ведет в клетку, уже помеченную знаком плюс, поэтому в этих клетках следует поставить минус, а знаком плюс нужно пометить все клетки, из которых за один ход можно попасть в клетку (1, 2) или (2, 1). Прочитать остальную часть записи »

В предыдущей статье мы уже узнали способ решения арифметических ребусов, а сегодня рассмотрим другой их вид, для Я^С = СЕМЬЯ подход к решению совсем другой. Посмотрим, какое наименьшее значение для нашей С возможно. Уже понято, что для того чтобы получилось пятизначное число при наименьшем С, цифра Я должна быть наибольшей, т. е. Я = 9. Но при этом видим, что 9 нужно возвести в пятую степень; получаем 59 049. Казалось бы, мы уже получили то загадочное число, что мы искали, поскольку оно начинается с той же цифры, что и наша степень, то есть: 9. Однако в первом и четвертом разрядах этого числа стоят одинаковые цифры, а в данном слове СЕМЬЯ на указанных местах стоят разные буквы. Соответственно делаем вывод, что этот вариант не проходит, и нужно продолжать перебор вариантов. Кстати, такой перебор нужно было делать и в том случае, если бы мы получили верное решение, потому что решить задачу — значит найти все ее решения.

Теперь на единичку опустимся и испробуем в качестве Я число 8, при этом перебор по С можно начинать с числа 5, так как мы знаем, что даже для большего основания нам понабилось ее перемножать, аж пять раз, а тут мы его еще и понизили. Число 8⁵ = 32 678, а шестая степень восьмерки уже шестизначное число. Пусть Я = 7, тогда его следует возводить в степени, начиная с шестой. 7⁶ = 117 649 —уже шестизначное число, а 7⁵ = 16 807. Пусть Я = 6, тогда С не равняется 6 и нужно испробовать 6⁷ = 279 936. Попытка оказалась неудачной. Возьмем Я = 5. 5⁶ = 15 625, а 5⁷ = 78 125. Эта попытка оказалась удачной. Следующие степени числа 5, очевидно, не годятся. Возьмем Я = 4. 4⁷ = 16 384, 4⁸ = 65 536 и получаем, что в этом случае нет решений. Для Я = 3 мы имеем 3⁹ = 19 683. Теперь уже очевидно, что найденное нами решение 5⁷ = 78 125 является единственным. Вот таким методом, может медленно, но зато уверено решаем все подобные упражнения!
Прочитать остальную часть записи »

Эта красивая игрушка в конце 70-х годов нашего века вызвала всеобщий ажиотаж. И она заслуживала этого. Действительно, привести кубик Рубика в исходное состояние после того, как его «запутали», для очень многих обладателей этой игрушки было непосильным делом. Изобрел этот кубик в 1975 году преподаватель архитектуры из Будапешта Эрне Рубик, который хотел с его помощью развивать пространственное мышление у своих студентов.

Трудность сборки кубика объясняется не только огромным количеством различных положений, в которых он может находиться, но и тем, что при осуществлении очередного продвижения приходится временно разрушать уже установленную правильную структуру. Некоторые изготовители кубика прикладывали в комплект к нему пластмассовый топорик, чтобы вконец раздосадованный владелец мог отвести душу, разломав игрушку после долгих и безрезультатных попыток собрать головоломку.

В настоящее время о кубике известно почти все. Из любого положения его можно привести в исходное за 23 поворота, имеется компьютерная программа, которая переводит кубик из любого положения в исходное за 21 поворот. При этом используются различные комбинации поворотов, дающие те или иные промежуточные результаты.

Мы предлагаем вам алгоритм сборки, в котором участвует лишь одна такая комбинация. Сначала договоримся об обозначениях. Поставим кубик углом к себе. Вращение верхней грани кубика по часовой стрелке будем обозначать буквой В, а против часовой стрелки — буквой V. Вращение левой грани по часовой стрелке будем обозначать буквой Л, а против — буквой L. Вращение правой грани аналогично будем обозначать буквами П и Р. Рассмотрим следующую комбинацию поворотов Ф = ПBЛVLPЛ, т. е. сначала поворачиваем по часовой стрелке правую грань, потом снова по часовой стрелке верхнюю и т. д. Рассмотрим также обратную комбинацию, т. е. такую, которая возвращает кубик в исходное положение после комбинации Ф. Это, как нетрудно понять, будет комбинация F = LПЛBLVP. Действие операции Ф: все кубики на ребрах, кроме трех, переходят в прежние положения, передний кубик на ребре поворачивается, а два других кубика на левой грани меняются местами. Если операцию Ф проделать два раза подряд, то все кубики на ребрах останутся на своих местах, лишь те два кубика, которые при комбинации Ф менялись местами, повернутся.
Прочитать остальную часть записи »

Эта игра — очень интересная и очень математическая. Играют двое. Каждый из них задумывает четырехзначное число. Обычно договариваются о том, чтобы все цифры в задуманных числах были разными. Задача — вычислить, что задумал противник. Ходят по очереди. Ход состоит в том, чтобы назвать какое-нибудь четырехзначное число, а противник обязан сообщить, сколько цифр совпало и какие из них оказались на нужных местах. Для краткости, цифры, которые совпали с цифрами задуманного числа и стоят на нужных местах, называют быками, а те цифры, которые совпали, но стоят не на своих местах, называют коровами. Тот, кто первым вычислил число, задуманное противником, выиграл.

Давайте разберемся, как нужно играть, чтобы не делать лишних ходов. Цифр всего десять. Значит, за два хода можно определить, как они распределены в группах цифр 1234, 5678, 90. Самый худший для вычисления вариант — когда две нужные цифры находятся среди цифр одной из проверенных нами четверок, одна — в другой четверка и одна — в паре 90. Добавляя к паре 90, где заведомо есть одна корова, любую пару из той четверки, где есть одна корова, можно на третьем ходу определить пару цифр, которых нет в задуманном противником числе. Зная две цифры, которых у противника нет, можно разбить ту четверку, где есть две коровы, на пары, в самом худшем случае — пары, в каждой из которых есть по одной корове. Это четвертый ход. Еще четыре хода нужно, чтобы заведомо выяснить, какие цифры задумал противник. Итак, за восемь ходов можно заведомо узнать все цифры числа, задуманного противником. Если при каждой проверке следить, чтобы проверяемые цифры не стояли на одном и том же месте в называемом на данном ходу числе, можно сократить вычисления до семи ходов.

Но на самом деле бывает, во-первых, везение, во-вторых, немалую роль играют чисто психологические факторы. Маловероятно, чтобы ваш противник задумал число, состоящее только из нечетных цифр, или из цифр, идущих подряд, — каждый стремится задумать число «потруднее». Так что если на каком-то ходе у вас есть выбор, скажем, из чисел 7819, 3819 и 1798, скорее всего, задумано число 3819 —оно «более сложное».
Прочитать остальную часть записи »

Рассмотрим такую задачу: для каких двух натуральных чисел разность их квадратов равна 455? Обозначим одно из чисел через k, а второе через n + k. Разность их квадратов равняется 455, поэтому 2nk + n² = 455. Как найти n и k у удовлетворяющие этому уравнению? Для начала разложим на множители левую и правую части уравнения: n(2k + n) = 5 х 7 х 13. Первое число слева меньше второго, поэтому оно может равняться либо 1, либо 5, либо 7, либо 13. При этом второй множитель равняется соответственно 455, 91, 65, 35. Осталось из полученных результатов найти второе число в каждом из этих четырех случаев. Это сделать совсем просто. Достаточно от второго множителя вычесть первый и результат разделить на 2. Вы догадались почему? Получаем для второго числа значения 222, 43, 29 и 11.

Во многих областях науки, техники и экономики возникают задачи выбора наилучшего варианта среди тысяч других. Такие задачи обычно поручают решать вычислительным машинам, а математик инструктирует ее, как это нужно делать.

На письменном вступительном экзамене в МГУ (физфак) однажды была предложена следующая задача:

«Куплено неизвестное число одинаковых книг и одинаковых альбомов. За литературу было заплачено 10 рублей 56 копеек. Надо найти количество купленных книг, если цена каждой книги более чем на один рубль превышает цену альбома, и также книг куплено на 6 штук больше, чем альбомов?»

Можно записать уравнение и неравенство, а затем пытаться их решать. А можно применить метод перебора. Раз книг куплено больше, чем альбомов, на 6, то книг куплено не меньше 7, а так как цена книги больше чем на рубль превосходит цену альбома, то каждая книга стоит больше рубля. Теперь вспомним, что было заплачено 10 рублей 56 копеек, значит, было куплено или 10, или 9, или 8, или 7 книг. Но число 1056 не делится ни на 10, ни на 9, ни на 7, а на 8 оно делится, значит, было куплено 8 книг и 2 альбома.
Прочитать остальную часть записи »

В те не столь далекие времена, когда в автобусах, троллейбусах и трамваях стояли кассы, в которые бросали пятаки за проезд, часто можно было видеть пассажира, бросившего в кассу 10, 15 или 20 копеек и собирающего пятаки у новых пассажиров, чтобы получить сдачу. Эта ситуация породила немало математических задач. Вот простейшая:

Входят в автобус двое. Ни у первого, ни у второго нет 5 копеек, но есть монеты в 10, 15 и 20 копеек. Как им расплатиться за проезд?

По ходу дела хотим напомнить, что в русском языке эти монеты имеют специальные названия: гривенник, пятиалтынный и двугривенный. С гривенником и двугривенным более-менее все понятно, а слово «пятиалтынный» происходит от названия монеты в три копейки — «алтын». Заодно напомним, что две копейки назывались «семишник», а полкопейки — «грош». Правда, к слову сказать, нынешний рубль не стоит и старого гроша.

Но вернемся к задаче. Вы, наверное, уже успели ее решить. Ясно, что один из пассажиров должен положить в кассу гривенник и получить от другого пятак. Но у того нет пятака, однако он теперь имеет дело не с кассой, которая лишь «глотает» монеты, а с человеком, который может дать сдачу. Дав ему 15 или 20 копеек и получив соответственно 10 или 15 копеек сдачи, второй пассажир, как и первый, может со спокойной совестью оторвать билет в кассе.

А если пассажиров трое и ни у одного из них опять нет 5 копеек? Но и здесь выход из положения есть. Просто один из пассажиров бросает в кассу свои 15 копеек, а двое других расплачиваются, как и в предыдущем случае, только 10 копеек они отдают первому, а не бросают в кассу.
Прочитать остальную часть записи »

В морской бой вы наверняка играли. На клетчатом листе бумаги каждый из противников рисует поле 10x10 клеток. На одном он расставляет свои корабли. Корабли не должны касаться друг друга ни сторонами, ни углами. По другому полю ведется стрельба: игрок называет координаты клетки, его противник сообщает о результатах: попал, утопил или промазал. Стреляют до первого промаха, затем ход передается противнику. Задача — утопить корабли вражеского флота прежде, чем утонут ваши.

Разумеется, нет смысла стрелять подряд по клеткам Аl, А2, АЗ, А4... Так можно погубить свой флот, прежде чем потопишь хоть один чужой корабль. Опытные «адмиралы» обычно сначала охотятся за линкором (четыре клетки), стреляя примерно по каждой четвертой клетке. При этом также учитывайте расстояние от других стен или уже затопленных кораблей. Рано или поздно неповоротливое огромное судно попадется. Если повезет, по дороге удастся подбить и что-нибудь помельче, но настоящая охота за крейсерами (три клетки) начинается после потопления линкора примерно так же — стрельбой по каждой третьей клетке. Ясно, что труднее всего переловить катера (одна клетка), — после победы над крейсерами и эсминцами (две клетки) все равно, как стрелять по оставшимся непроверенными клеткам. Либо попадешь, либо нет — тут не существует никакой выгодной игроку стратегии охоты...
Прочитать остальную часть записи »