Метка: Знания

Дискретная математика

Дискретная природа объекта предполагает, что его можно описать целыми числами. Например, если мы будем фиксировать число посетителей музея каждый день в течение месяца, то получим множество, состоящее из 30 целых чисел. Чтобы некий объект имел дискретную природу, он не обязательно должен быть конечным. Достаточно, чтобы была возможность пронумеровать его составляющие. Если мы рассмотрим прямую, обозначим

Топологические трансформации

Допустим, что дана эластичная поверхность, сделанная, например, из резины или пластилина. Мы легко можем деформировать ее и нарисовать на ее поверхности, например, квадрат. Растягивая поверхность, мы можем превратить этот квадрат в круг, шестиугольник или любой другой многоугольник. Важно, что при этих трансформациях поверхность не разрывается и никакая точка не накладывается на другую. Такие трансформации, которые

Числа трансцендентные и алгебраические и их среднее значение

Вы почти наверняка слышали, что число не только иррационально, но и трансцендентно — это слово, очевидно, латинского происхождения означает, что не является корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Например, — иначе было бы корнем уравнения . Кстати, ..., так что опровергнуть равенство вручную, без электроники, весьма непросто. Заметим, что иррациональность числа также связана с

Точные квадраты и кубы

Из основной теоремы арифметики следует, что точный квадрат всегда имеет нечетное число делителей: если число есть точный квадрат, то показатели степеней , четны, а число делителей числа a, равное нечетно. Точно так же у точного куба число делителей имеет вид 3n+1, у четвертой степени — число вида 4n+11 и т.д. При работе со степенями целых

«Целые остатки»

Решения задач на остатки с вычислительной точки зрения можно несколько упростить, если вместо обычных остатков от деления на натуральное число n — чисел от 0 до n-1 — рассматривать «целые остатки» — целые числа, меньшие или равные по модулю, чем . Например, всякое целое число можно единственным образом представить в одном из видов 7k, 7k±1,7k±2,

Формулы разности и суммы степеней

В программу углубленного изучения математики входят две формулы, обобщающие общеизвестные, хрестоматийные формулы разности квадратов и кубов, а также суммы кубов. Для любого натурального числа n: Они также входят в программу профильного курса математики. И мы уже видели, насколько полезными являются эти формулы для решения задач на делимость и остатки для натуральных и целых чисел. Доказательство

Свойства сравнений

Основные свойства сравнений абсолютно совпадают со свойствами равенств: для любого n>1 и любых целых чисел a и b: 1. ; 2. Если , то ; 3. Если , , то ; 4. Если , , то . Свойство 4 означает, что сравнение (естественно, по одному и тому же модулю n) можно складывать, вычитать и перемножать

Сравнения в множестве целых чисел

Сразу же укажем, что под термином сравнение здесь подразумевается вовсе не выяснение того, какое из двух чисел больше или меньше другого. Понятие сравнения на множестве целых чисел никаким образом не входит ни в школьную программу, ни в программу для поступающих в вузы, хотя оно исключительно удобно для решения именно школьных задач, связанных с делимостью натуральных