Математика, решение онлайн!!!

Содержание школьного курса математики во многом определяется не только принятой целью обучения, но и особенностями структурирования этого курса. Рассмотрим основные психолого-педагогические вопросы структуры математики как учебного предмета.

Первым таким вопросом является характер структурных единиц школьного курса математики.

Определяя в одном из предыдущих постов цель обучения математике, мы в качестве структурных единиц взяли «знания», «умения» и «навыки». В этом случае мы следовали исторической традиции, по которой учебный предмет состоит из указанных структурных единиц.

Несомненно, что учащиеся в результате обучения математике должны приобрести определенные знания, овладеть какими-то умениями и навыками. Весь вопрос в том, что понимать под знаниями, какова должна быть связь между ними и умениями и навыками. Ведь очевидно, что знания должны включать в себя и соответствующие им умения, ибо в противном случае это будут пустые, словесные знания. Точно так же умения должны сопровождаться и основываться на знаниях, ибо иначе это будут не сознательные, а слепые, бессознательные умения.

Но когда мы перечисляем их рядоположено, то невольно разделяем их и противопоставляем. Появляются просто знания и отдельно умения и навыки. К сожалению, педагогическая практика обучения математике демонстрирует много примеров именно такого понимания этих структурных элементов школьного курса математики.

Поэтому были предложены иные структурные единицы школьного курса математики. Так, А. А. Столяр считает, что обучение математике следует рассматривать как процесс «формирования и развития мыслительной деятельности определенной структуры, именуемой математической деятельностью». Он при этом исходит из очевидного положения, что полноценное усвоение математики предполагает активность учащихся в процессе обучения. Без активной мыслительной деятельности не может быть достигнуто сознательное усвоение знаний. А. А. Столяр считает, что учащиеся в процессе обучения математике должны проявлять активность не только в широком смысле, т. е. вообще активную мыслительную деятельность, но и специфическую активность — мыслительную деятельность определенной структуры, свойственной математике и называемой поэтому математической деятельностью.
Прочитать остальную часть записи »

Обычно говорят, что математика как учебный предмет представляет собой педагогическую проекцию математики как науки. Несомненно, это верно, ибо в любом случае содержание школьного курса математики заимствовано из математики как науки. Но мы знаем, как сложен мир математики, как многогранен и многоаспектен этот мир, как сложна его структура, как много различных наук образуют этот мир. Что же взять из этого мира в учебный предмет общего образования? Что понимать под «основами» математической науки, которые составляют учебный предмет математики?

Ведь очевидно, что образовать эти основы можно многими различными способами, и история образования показывает, что это действительно так. Сколько раз менялась программа школьного курса математики только за - последние годы, и каждый раз авторы этих программ вполне резонно утверждали, что каждая новая программа и составляет эти основы математики. При этом даже составлялись конкурирующие между собой программы в одно и то же время и каждая из них, по замыслу составителей, отражала в наилучшей степени основы математики.

Следовательно, необходимо выяснить, что же в самом деле представляют эти «основы» математики, которые и должны составлять содержание школьного курса математики.

Очевидно, что для этого надо исходить из каких-то критериев, принципов, определяющих основы науки как содержания учебного предмета общего образования.

Иногда в качестве таких критериев указывают ряд общепедагогических требований к содержанию этих основ, таких, как научность, доступность, значимость, для воспитания диалектико - материалистического мировоззрения, для формирования интересов к изучению математики и т. д. И. И. Логвинов справедливо указывает, что эти критерии «из-за своей неопределенности делают сколько-нибудь однозначный отбор материала невозможным. Под эти критерии можно подвести буквально все содержание науки, так как в ней весьма затруднительно найти тот материал, изучение которого не способствовало бы развитию пытливости и наблюдательности, формированию диалектико - материалистического - мировоззрения, показу значимости науки для технического прогресса... А это значит, что с помощью таких критериев молено сконструировать сколько угодно «основ» на любой вкус».
Прочитать остальную часть записи »

Для рассмотрения содержания и структуры общеобразовательного курса математики, мы, очевидно, должны исходить из целей и задач этого курса. Однако математика не единственный учебный предмет общего образования, она составляет хотя и весьма значимую, но все же небольшую часть этого образования. Поэтому естественно, что цели и задачи курса математики определяются общими целями и задачами образования. Следовательно, прежде чем говорить о частных целях и задачах обучения математике, надо хотя бы кратко остановиться на общих целях среднего образования.

Цели и задачи общего среднего образования в конечном счете определяются общественными запросами, теми задачами, которые общество ставит перед школой. Эти цели и задачи в настоящее время иные, чем они были прежде, скажем 10 —20 лет тому назад. Вообще связь между обществом, государством и школой, учителем можно представить следующим образом. Общество в лице государства, исходя из социального, политического и экономического состояния и планов своего развития, дает определенный заказ школе, формулируемый как необходимость подготовки подрастающего поколения для решения определенных общественных задач и проблем, как норму развития качеств своих будущих граждан. Педагогика, принимая этот социальный заказ общества, разрабатывает пути и средства для его реализации школой. Конкретно это сводится к тому, что педагогика переводит заказ общества на педагогичсский язык, формулируя цели образования, разрабатывая учебные планы и программы обучения, общие методы обучения и воспитания, обеспечивающие выполнение намеченных целей, планов и программ. Все эти разработки педагогические науки адресуют школе, учителю. А они уже организуют и проводят саму практику обучения и воспитания учащихся, которые в соответствии с этим осуществляют процесс учения. Здесь мы под учением понимаем систему различных деятельностей учащихся, организуемых и руководимых учителями и школой, объективно направленных на осуществление целей образования.

Прежде чем приступить к психолого - педагогическому анализу содержания и структуры школьного курса математики, надо, очевидно, разобраться в том, что это за анализ, какие еще существуют виды анализов, чем он отличается от других видов?

Чтобы выяснить это, рассмотрим процесс обучения математике. В этом процессе его предметом, материалом, который используется в работе, является учебный курс математики, отражающий в определенном виде математические науки, а участниками процесса выступают учитель и учащиеся. Кроме того, опосредованное участие в этом процессе принимают родители учащихся, создающие и обеспечивающие условия для деятельности учащихся, и работники органов народного образования —администрация школы, методисты, инспекторы и другие, —определяющие характер и содержание деятельности учителя.

Структура процесса обучения математике весьма сложная, и потому, естественно, ее можно анализировать с разных точек зрения. Так, в основу анализа этого процесса можно положить взаимосвязь между математическими науками и учебным предметом математики, —в этом случае говорят об онтодидактическом анализе. Можно рассматривать весь этот процесс с точки зрения деятельности учителя, тогда мы будет иметь методический анализ. Если этот процесс рассматривать с точки зрения его организации и обеспечения материальными условиями, то это будет школоведческий анализ процесса обучения математике, и тогда в его структуре должно появиться еще одно звено —учебное оборудование и пособия, —которое опосредствует связи между учебным предметом, учителем и учащимися. Если этот процесс изучать с точки зрения взаимоотношений всех лиц, так или иначе принимающих участие в нем, то это будет социально - психологический или даже социологический анализ процесса учебы.

Как видим, возможны различные виды анализа процесса обучения математике, и мы указали отнюдь не все: так, возможен и полезен кибернетический анализ этого процесса, когда последний рассматривается как процесс управления и др.

Однако основным и определяющим должен стать анализ этого процесса с точки зрения центральной его фигуры — ученика. Действительно, ведь обучение организуется и функционирует для учащихся, ради них, и именно они являются здесь главными действующими лицами: если ученики не будут действовать в процессе обучения по определенной программе, в соответствии с его целями и задачами, то никакого обучения не произойдет и весь процесс окажется безрезультатным. Результаты этого процесса также рассматриваются и оцениваются с точки зрения ученика, так как фиксируют, какие изменения произошли с ним при обучении, какие знания и умения он приобрел, какие навыки он имеет, произошли ли нужные сдвиги в его психическом развитии, в его привычках и поведении, насколько выработалось у него научно - диалектическое мировоззрение и т. д. Именно ради всего этого, и действуют все остальные лица, участвующие в этом процессе.

Вот этот анализ процесса обучения математике с точки зрения деятельности ученика —главной фигуры этого процесса — и есть психолого - педагогический анализ.

Заметим, что все виды анализа процесса обучения математике взаимосвязаны и взаимообусловлены, ибо каждый из них учитывает результаты других видов анализа. Однако ведущим, основным из них, несомненно, является психолого - педагогический, ибо его результаты являются основой для принятия решений при других видах анализа процесса обучения математике.

В истории высшей математики циклоида сыграла исключительно важную роль. Более полустолетия она привлекала внимание крупнейших ученых 17 века. Ряд ее свойств, найденных геометрическими средствами, подтвердил правильность новых аналитических методов. Другие ее свойства удалось открыть только с помощью этих новых методов.

В 1590 г. Г. Галилей, изучая траекторию точки катящейся окружности, построил циклоиду (ему принадлежит и наименование этой линии). Он пытался определить площадь, ограниченную аркой линии и ее основанием. Не располагая средствами для теоретического решения задачи, он пытался найти отношение площади циклоиды к площади производящего круга путем взвешивания. Вначале он полагал, что это отношение будет равно 3, но потом обратил внимание на то, что во время эксперимента всегда выходило число, меньшее трех. Так как разность была не очень большой, то казалось, что искомое отношение невозможно выразить через небольшие целые числа, и Галилей пришел к убеждению, что это отношение будет иррациональным.

После смерти Галилея (1642 г.) его ученики Э. Торричеллии В. Вивиани, делившие с ним горести заточения, занялись математическим исследованием циклоиды. Вивиани, применяя кинематические соображения, нашел свойство касательной; Торричелли, применяя приемы, предвосхитившие интегральное исчисление, определил площадь фигуры.

Площадь ее была найдена также Ж. Роберзалем независимо от Торричелли и, вероятно, на несколько лет раньше последнего. Метод Роберваля замечателен по остроумию и простоте.

Тем же методом Роберваль нашел объемы тел вращения циклоиды около основания и около высоты. Роберваль рассматривал не только обыкновенную циклоиду, но также удлиненную и укороченную и дал метод построения их касательных.

Как ни замечательны были эти открытия, они относились все же к задачам, которые для ряда других фигур решались уже с давних пор. Между тем все попытки осуществить точное спрямление криволинейных дуг оставались безуспешными. Циклоида была первой кривой линией, которую удалось спрямить. Впервые это сделал выдающийся английский астроном, физик, математик и архитектор К. Рен (1632— 1723). Работа Рена была опубликована в 1658 г. Вскоре та же задача была решена рядом других ученых, причем П. Ферма, кроме того, впервые выполнил спрямление алгебраической линии (полукубической параболы).

Исчерпывающее исследование геометрических свойств циклоиды было произведено Б. Паскалем, работа которого вышла в свет в 1659 г.

В последующее сорокалетие трудами таких первоклассных ученых, как X. Гюйгенс, И Ньютон, Г. В. Лейбниц и братья Бернулли, были исследованы механические применения циклоиды. Задача о брахистохроне в ее обобщенном виде явилась одним из основных истоков созданной в 18 веке трудами Л. Эйлера и Ж. Л. Лагранжа новой отрасли математики — вариационного исчисления.

Мы уже знаем определение и некоторые виды циклоиды, сегодня узнаем связь этой замечательной геометрической фигуры с другими линиями.

Эволюта и эвольвента обыкновенной циклоиды. Эволюта обыкновенной циклоиды (геометрическое место центров кривизны) есть циклоида, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания АВ и опущенная под основание на расстояние, равное высоте циклоиды. Другими словами, эвольвента циклоиды C₄BD, исходящая из вершины В этой кривой, есть циклоида M₂BN, конгруэнтная данной, но смещенная вдоль направляющей на половину основания C₄D и поднятая над основанием на расстояние, равное высоте данной линии.

Геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки М циклоиды на диаметр производящего круга, проходящий через точку опоры, есть синусоида с длиной волны 2πr и амплитудой d. Ось этой синусоиды совпадает с линией центров циклоиды.

Циклоида как проекция винтовой линии.
Обозначения: h — шаг винтовой линии; а — ее радиус; α — угол подъема; β — угол между осью винтовой линии и плоскостью проекций; σ — угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций.

Косоугольная проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную оси, есть циклоида. Если σ > α, то эта циклоида удлиненная; если σ < α, то укороченная; если σ = α, то обыкновенная. Прямоугольная проекция винтовой линии на ту же плоскость есть, очевидно, окружность.

Прямоугольная проекция винтовой линии на плоскость, не перпендикулярную оси, но и не параллельную последней, есть «сжатая циклоида», т. е. линия, получаемая из циклоиды с помощью равномерного сжатия к какой-либо прямой, перпендикулярной линии центров циклоиды.

Коэффициент сжатия k = sin β ; величины r и d, характеризующие циклоиду (до ее сжатия), выражаются так:

Отсюда видно, что при β > α проекция винтовой линии родственна с удлиненной циклоидой; при β < α — с укороченной; при β = α — с обыкновенной.
Прочитать остальную часть записи »

И так продолжаем тему геометрических фигур и сегодня поговорим о циклоиде, как она определяется и какие есть ее виды.

Определение. Циклоидой называется линия, которую описывает точка, закрепленная в плоскости круга (производящий круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направляющая).

Если точка М, описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т. е. расстояние CM = d от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной; если вне круга (т. е. d > r), — удлиненной; если же точка М лежит на окружности (т. е. d = r), то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой или чаще просто циклоидой.

Пример. Когда вагон движется по рельсам, внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе — удлиненную, а точка окружности колеса — обыкновенную.

Начальной точкой фигуры называется такая ее точка, которая лежит на прямой (С₀О)у соединяющей центр С₀ производящего круга с точкой его опоры (О), и расположена по ту же сторону от центра С₀, что и точка опоры О. Точка В на рисунках — тоже начальная.

Начальные точки обыкновенной циклоиды лежат на направляющей и совпадают с соответствующими точками опоры производящего круга.

Вершиной циклоиды (D на рисунке) называется такая ее точка, которая лежит на прямой С'О' соединяющей центр С' производящего круга с точкой опоры О', но расположена на продолжении отрезка С'О' за точку С'.

Отрезок АВ, который соединяет две соседние начальные точки, будет называтся основанием циклоиды; а перпендикуляр DF, который опущен из вершины циклоиды на ее основание, — высотой. Дуга, которая описывается точкой М между двумя соседними начальными точками, также имеет свое название - арка циклоиды; прямая UV, которая описывается центром С производящего круга, — линия центров.
Прочитать остальную часть записи »

Раньше мы уже ознакомились с логарифмической спиралью, ее определением, геометрическими свойствами и особенностями формы, а здесь рассмотрим её немножко с другой стороны, а также узнаем, какие ученые ее исследовали.

Кинематическое свойство. Если дуга логарифмической спирали катится (без скольжения) по прямой АВ, то центр кривизны, соответствующий точке касания, движется по прямой, наклоненной к АВ под углом π/2 - α .

Картографическое свойство. Сферическая линия, пересекающая меридианы под постоянным углом α (эта линия называется локсодромой(Что значит «кособежная» — от греческих слов «локсос» — косой и «дромос» — бег. Корабль, сохраняющий неизменный курс, движется по локсодроме. )), проецируется из полюса сферы Р на плоскость экватора логарифмической спиралью; полюс последней находится в центре сферы. Меридианы проецируются при этом лучами, направленными по полярным радиусам спирали; эти лучи пересекаются спиралью под тем же углом а, под которым локсодрома пересекает меридианы.
Прочитать остальную часть записи »