Математика, решение онлайн!!!

Восходит к греческой буквенной нумерации и древнерусская нумерация. Славянский алфавит содержал ряд букв, добавленных к греческим и обозначавшим звуки, отсутствующие в греческом языке: таковы буквы Б (греческая «бета» у византийцев произносилась, как «в», и называлась «вита», что отразилось в слове «алфавит»), Ш, Ц,Ч, III, Щ и др.

Однако, в отличие от грузин и армян, славяне не придали числовых значений новым буквам, за исключением букв Ч и Ц, которыми они заменили архаические греческие буквы «коппу» и «сампи». Числовое значение 6 имела славянская буква «зело», похожая на греческую букву ς — концевую сигму, которой греки заменили первоначально имевшую это числовое значе¬ние архаическую дигамму. Славянские буквенные нумерации, основанные на обоих славянских алфавитах — кириллице и глаголице.

Десятки и единицы писались в том порядке, в котором они произносятся; например, пятнадцать (пять-на-десять) обозначалось "єї", а двадцать пять — "кє". Тысячи обозначались теми же буквами, что и единицы, но со специальным знаком. Большие числа записывались теми же буквами, что и единицы, но с различным обрамлением. Наибольшее распространение получила кириллическая нумерация.

Вот такими изобретательными были наши предки, теперь может для нас это кажется не очень рациональным, но в те времена и с теми знаниями – это было изобретение.

В первой половине XI в. в Армении работал просветитель Григорий Магистрос (ок. 990—1058); до нас дошло начало выполненного Магистросом перевода «Начал» Евклида. В конце XI — начале XII в. в Армении работал астроном Ованес Саркаваг (ок. 1045—1129), автор хронологических работ. Сочинение Саркавага «Многоугольные числа» опиралось на «Арифметику» Никомаха.

В XI—XII вв. в Грузии в Гелатской академии (вблизи г. Кутаиси), основанной грузинским царем Давидом Строителем, работал Иоане Петрици (ок. 1055—1130). Петрици переводил на грузинский язык философские сочинения неоплатоников, в частности Прокла Диадоха; от Прокла Петрици, по-видимому, заимствовал интерес к геометрии. В сочинениях Петрици мы встречаем рассуждения об основных понятиях геометрии: «Геометрия считает свои три измерения первичнее всего, а два из них она производит из одного... Ибо если точка растянется, возникает прямая линия, которая является первым ее отпрыском, а если линия расширяется, производит плоскость».

В XIV в. в Византии работает армянин Николай Рабдас Артавазд, уроженец Смирны. Ему принадлежит издание сочинения Плануда по индийской арифметике с собственными дополнениями. Сохранились два сочинения самого Артавазда на греческом языке в форме писем. Одно из них называется: «Краткое и весьма ясное изложение науки счисления, сочиненное в Константиновской Византии Рабдасом Николаем Артаваздом из Смирны, арифметиком и геометром, по просьбе почтеннейшего судебного докладчика, адвоката Георга Хачика, весьма легкое для желающих изучить его». Здесь разъясняются алфавитная система счисления и счет на пальцах до 9999: на левой руке откладывались единицы и десятки, а на правой — сотни и тысячи. При изложении действий арифметики Артавазд замечает, что в случае больших чисел хорошо пользоваться «великим индийским счислением»; в конце письма приведены большие таблицы сложения, вычитания и умножения в алфавитной нумерации, близкие к таблицам Анании Ширакаци.
Прочитать остальную часть записи »

Грузины и армяне, создавшие свои алфавиты на основе греческого, пользовались алфавитной нумерацией, построенной по образцу греческой буквенной нумерации. Так как в грузинском и армянском языках больше согласных звуков, чем в греческом, то к греческим был добавлен ряд новых букв, что дало возможность обозначать ими не только единицы десятки и сотни, как греки и их предшественники, но также и тысячи.

Во второй половине VII в. работал выдающийся армянский ученый вардапет (учитель) Анания Ширакаци, уроженец Ширака. Из приписываемой ему автобиографии известно, что он, «сильно возлюбив числитель¬ное искусство», долго искал хорошего учителя и в конце концов нашел его в лице греческого математика Тюхика в Трапезунде. Вернувшись на родину, Анания написал ряд сочинений, среди них «Космографию и летоисчисление» и сборник арифметических задач «Вопросы и решения», сохранившийся не полностью — без вводной теоретической части. В сборнике 24 задачи с ответами, но без вывода; почти во всех задачах так или иначе отражена жизнь армянского народа: или в условии говорится о событиях армянской истории, или применяются армянские меры. Задачи — линейные, с одним неизвестным, в одной требуется разделить величину в арифметической прогрессии; есть древнегреческая задача на заполнение бассейна тремя трубами. Встречающиеся в задачах дроби записаны в виде сумм долей единицы; например, ответ задачи, который мы записали бы как 6/11, дается в виде суммы 1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/22 (хотя эту же дробь можно было бы записать гораздо проще — в виде 1/2 + 1/22). Анания Ширакаци составил также обширные таблицы сложения, вычитания и умножения, а также чисел вида 6000/n, где n пробегает все значения букв армянского алфавита, а частные округляются до целого числа.

Имелись аналогичные таблицы и в Армении для чисел вида 5000/n, 4000/n и некоторых других.

Теоремы о призмах и цилиндрах показывают, что вертикальные сооружения выгоднее в смысле получения большей кубатуры здания при данных основании (фундаменте) и квадратуре поверхности стен или же в смысле меньшей затраты строительных материалов на возведение стен при данном основании и данной кубатуре (т. е. в данном случае при данной высоте) здания, чем сооружения наклонные, так что здесь экономичность или эффективность сооружения совпадает с его стойкостью и с легкостью его постройки. Поэтому ясно, что такие здания, как знаменитая наклонная башня в Пизе или две еще более наклонные башни в Болонье. Не имеют практического значения, представляя собой только архитектурный курьез.

При данной площади основания правильные многоугольные основания выгоднее (в смысле меньшей площади стен при данной кубатуре здания или большей кубатуры при одинаковой квадратуре стен), чем неправильные многоугольные основания с тем же числом сторон; что квадратные башни вместительнее, чем треугольные, при одинаковой квадратуре основания и стен, что правильные пятиугольные основания выгоднее в этом смысле квадратных; правильные шестиугольные еще выгоднее и т. д., выгоднее всего — форма круглой цилиндрической башни.

Одно время некоторыми архитекторами горячо пропагандировалась идея таких круглых домов. Помимо экономии в строительном материале, цилиндрическая форма имеет еще и другие крупные преимущества перед призматической. Меньшая поверхность наружных стен означает меньшую потерю зданием тепла зимой, меньшую нагреваемость его летом. Отсутствие углов избавляет от хлопот с отсырением и промерзанием последних. Радиальное расположение комнат сокращает пере ходы из одной комнаты в другую, что особенно ценно при больших зданиях учреждений или гостиниц с их длинными коридорами. Упрощается также проблема отопления, проводки водопровода, осветительной сети, газа. Например, гостиница Дуки д'Аоста в Сестриере (Италия), диаметром 25 м и высотой 47 м, с 15-ю спиралями внутри.

Но самой идеальной (в смысле экономии материала, потребного на возведение наружных стен) формой является не цилиндрическая, а шаровая. Такая форма домов, особенно при больших их размерах, обладает всеми преимуществами цилиндрической формы в еще большей степени, и к ним присоединяются еще новые преимущества, специфически свойственные сферической форме зданий. Сюда относится отсутствие крыши в обычном смысле слова, так как сама наружная оболочка дома, служащая стеной, является завершением здания сверху.
Прочитать остальную часть записи »

Физика дает нам иллюстрации теорем не только двумерной, но и трехмерной изопериметрии. Всем известен знаменитый опыт французского физика Плато: более или менее значительное количество растительного масла, помещенное в водный раствор спирта такого же удельного веса, принимает в нем точную сферическую форму, при которой поверхность масляной массы при постоянстве ее объема получает наименьшую площадь. Впрочем, здесь присоединяется еще и требование равенства давлений во всех точках поверхности, а эти давления обусловливаются величиной кривизны поверхности в данной точке.

Мыльный пузырь тоже имеет форму шара, т. е. имеет наименьшую поверхность при данном объеме заключенного внутри воздуха. Описание соответствующих опытов можно найти в книжечке: Бойс, Мыльные пузыри, Научное книгоиздательство, Ленинград, 1922. Если же коснуться его двумя смоченными параллельными проволочными кольцами и затем несколько раздвинуть последние, то мыльная пленка принимает красивую форму так называемой поверхности катеноида — поверхности, получаемой от вращения цепной линии (имеющей форму свободно висящей нити, закрепленной в двух точках) вокруг прямой, лежащей в ее плоскости. В вариационном исчислении доказывают, что катеноид представляет минимальную поверхность, опирающуюся на данные две окружности. Природа в один миг решает эту сложную математическую задачу: при какой форме поверхность, соединяющая два параллельных кольца с центрами на прямой, перпендикулярной к их плоскостям, имеет наименьшую площадь?

Погружая в мыльный раствор проволочные каркасы различной формы и осторожно извлекая их из него, получаем прекрасные фигуры, у которых физики подметили ряд удивительных закономерностей, касающихся числа ребер, сходящихся в одной точке, и т. д. Все эти законы связаны с тем, что получаемые формы представляют решения соответствующих задач: натянуть на каркас данной формы мыльную пленку (или, выражаясь геометрически, поверхность), имеющую возможно меньшую площадь.

От этих физических иллюстраций перейдем к техническим приложениям теорем пространственной изопериметрии уже в следующей статье.

Итак, судя с данных таблицы, полученных в предыдущей статье, будем иметь последовательность пар чисел: (0, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), (8, 13), (9, 15), (11, 18), (12, 20), (14, 23), (16, 26), ... Закономерность никак не просматривается, и никаких идей не приходит в голову.

Оказывается, что распределение чисел в парах связано с загадочными числами Фибоначчи, о которых я уже рассказывал. Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., каждое из которых равно сумме двух предыдущих.

Мы знаем о десятичной и двоичной системах счисления и можем представить систему счисления с любым другим основанием, а теперь давайте познакомимся с фибоначчиевой системой счисления. Всякое натуральное число π можно представить в виде суммы чисел Фибоначчи. Сначала возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее π, и вычтем его из π. Потом возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее этой разности, и вычтем его из этой разности, повторим такую процедуру с новой разностью и т. д. Например, 17 = 13 + 3 + 1.
Прочитать остальную часть записи »