Математика, решение онлайн!!!

Рассмотрим такую задачу: для каких двух натуральных чисел разность их квадратов равна 455? Обозначим одно из чисел через k, а второе через n + k. Разность их квадратов равняется 455, поэтому 2nk + n² = 455. Как найти n и k у удовлетворяющие этому уравнению? Для начала разложим на множители левую и правую части уравнения: n(2k + n) = 5 х 7 х 13. Первое число слева меньше второго, поэтому оно может равняться либо 1, либо 5, либо 7, либо 13. При этом второй множитель равняется соответственно 455, 91, 65, 35. Осталось из полученных результатов найти второе число в каждом из этих четырех случаев. Это сделать совсем просто. Достаточно от второго множителя вычесть первый и результат разделить на 2. Вы догадались почему? Получаем для второго числа значения 222, 43, 29 и 11.

Во многих областях науки, техники и экономики возникают задачи выбора наилучшего варианта среди тысяч других. Такие задачи обычно поручают решать вычислительным машинам, а математик инструктирует ее, как это нужно делать.

На письменном вступительном экзамене в МГУ (физфак) однажды была предложена следующая задача:

«Куплено неизвестное число одинаковых книг и одинаковых альбомов. За литературу было заплачено 10 рублей 56 копеек. Надо найти количество купленных книг, если цена каждой книги более чем на один рубль превышает цену альбома, и также книг куплено на 6 штук больше, чем альбомов?»

Можно записать уравнение и неравенство, а затем пытаться их решать. А можно применить метод перебора. Раз книг куплено больше, чем альбомов, на 6, то книг куплено не меньше 7, а так как цена книги больше чем на рубль превосходит цену альбома, то каждая книга стоит больше рубля. Теперь вспомним, что было заплачено 10 рублей 56 копеек, значит, было куплено или 10, или 9, или 8, или 7 книг. Но число 1056 не делится ни на 10, ни на 9, ни на 7, а на 8 оно делится, значит, было куплено 8 книг и 2 альбома.
Прочитать остальную часть записи »

Очень интересная задача о пятиалтынном была подана в предыдущем посте, здесь рассмотрим еще одну не менее интересную и даже полезную задачу, которая связана с разменом денег.

Данная задача о размене денег связана с деньгами номиналом в 3 и 5 рублей. Вопрос к этой задаче таков: «Какие суммы можно уплатить без сдачи купюрами в 3 и 5 рублей?»

Покупку в один и два рубля «трешками» и «пятерками» не оплатишь, а в три, пять и шесть рублей — можно оплатить. Четырехрублевую и семирублевую покупки снова нельзя оплатить, а восьми, девяти - и десятирублевые покупки можно оплатить этими купюрами, так как 8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 +5.

А дальше? Оказывается, что дальше любую сумму денег можно оплатить этими купюрами. Действительно, добавив к полученным трем суммам по «трешке», получим 11, 12 и 13 рублей. Добавив еще по «трешке», получим 14, 15 и 16 рублей и т. д.

Ну а если брать другие купюры? «Пятерками» и «десятками» можно уплатить без сдачи лишь сумму, кратную пяти, вообще если купюры в р рублей и k рублей, и числа р и k имеют общий делитель, отличный от единицы, то ими можно уплатить без сдачи только суммы, кратные этому делителю. Общее утверждение состоит в следующем:

«Если имеется неограниченное количество купюр достоинством в р и k рублей, причем числа р и k взаимно просты, то любую сумму, большую pk-р-k рублей, можно уплатить без сдачи этими купюрами».

В случае «трешек» и «пятерок» получаем число pk-р-k = 15-3-5 = 7.
Прочитать остальную часть записи »

Вопросы о наибольших и наименьших величинах, являются одними из наиболее интересных в чисто математическом отношении (по разнообразию и по остроумию придуманных математиками методов их решения) и в то же время крайне важными по своему практическому, прикладному значению.

Архитектор, проектируя какое-либо здание, стремится затратить на его возведение минимум времени, строительных материалов и рабочей силы и достичь при этом максимальной прочности, освещенности, простора, теплоизоляции и т. д.

Пчела, взявшая каплю меда с цветка, летит к своему улью по прямой, сокращая этим до минимума затрату времени и сил и получая возможность совершить максимум рейсов за день, т. е. собрать максимальное количество меда. А в улье она выстилает соты таким образом, что в данном объеме (улья) умещается максимальное количество ячеек.

Даже в растительном царстве и в так называемой «мертвой» природе мы наблюдаем процессы, способные внушить дикарю идею одушевленности природы. Так, растение пускает в сухой почве свои корни вертикально вниз, «чтобы» как можно скорее достичь влажного слоя, а подсолнух поворачивается своей головкой к солнцу, «чтобы» получать максимум солнечной энергии. Луч света отражается от зеркала, а бильярдный шар — от борта бильярда по такому закону, который обеспечивает минимум пути между любой точкой падающего и любой точкой отраженного луча или траектории шара.

Пространственные формы, как, например, траектории движений, формы оболочек ит. д., играют наряду со временем, скоростью, массой, работой, энергией и т. д. большую роль во многих проблемах максимально-минимального или, как говорят математики, экстремального (т. е. «крайнего») характера. Часть этих экстремальных вопросов носит чисто геометрический характер, а среди них на первом месте встречаем проблемы изопериметрические или «равно обводные», как писали по-русски еще в середине прошлого столетия. Более подробно о них мы разберем в статье о сути изопериметрических задач.

В те не столь далекие времена, когда в автобусах, троллейбусах и трамваях стояли кассы, в которые бросали пятаки за проезд, часто можно было видеть пассажира, бросившего в кассу 10, 15 или 20 копеек и собирающего пятаки у новых пассажиров, чтобы получить сдачу. Эта ситуация породила немало математических задач. Вот простейшая:

Входят в автобус двое. Ни у первого, ни у второго нет 5 копеек, но есть монеты в 10, 15 и 20 копеек. Как им расплатиться за проезд?

По ходу дела хотим напомнить, что в русском языке эти монеты имеют специальные названия: гривенник, пятиалтынный и двугривенный. С гривенником и двугривенным более-менее все понятно, а слово «пятиалтынный» происходит от названия монеты в три копейки — «алтын». Заодно напомним, что две копейки назывались «семишник», а полкопейки — «грош». Правда, к слову сказать, нынешний рубль не стоит и старого гроша.

Но вернемся к задаче. Вы, наверное, уже успели ее решить. Ясно, что один из пассажиров должен положить в кассу гривенник и получить от другого пятак. Но у того нет пятака, однако он теперь имеет дело не с кассой, которая лишь «глотает» монеты, а с человеком, который может дать сдачу. Дав ему 15 или 20 копеек и получив соответственно 10 или 15 копеек сдачи, второй пассажир, как и первый, может со спокойной совестью оторвать билет в кассе.

А если пассажиров трое и ни у одного из них опять нет 5 копеек? Но и здесь выход из положения есть. Просто один из пассажиров бросает в кассу свои 15 копеек, а двое других расплачиваются, как и в предыдущем случае, только 10 копеек они отдают первому, а не бросают в кассу.
Прочитать остальную часть записи »

Раньше мы решили задачу на переливание с помощью логики и вычислений, а сейчас будем использовать только чистую логику.

Имеется банка молока и три сосуда разной формы, принадлежащие трем сварливым чудакам. Требуется так разлить все это молоко по сосудам, чтобы каждый был уверен, что у него не меньше трети всего молока.

Заметим, что эта задача совсем другого типа. Здесь все переливания выполняются на глазок, но не требуется налить поровну во все сосуды, а требуется учесть мнения чудаков. Поэтому в такой процедуре должны будут участвовать сами чудаки.

Если бы требовалось разделить молоко только между двумя чудаками, то это можно было бы сделать очень просто: пусть первый разольет молоко по двум сосудам так, чтобы, по его мнению, в них было молока поровну, а потом попросить второго чудака выбрать себе тот сосуд, в котором, по его мнению, молока не меньше, чем в другом. В результате он и первый чудак будут уверены, что получили не меньше половины всего молока.

Решение задачи для трех чудаков таково. Сначала попросим одного из чудаков разлить молоко по сосудам так, чтобы там, по его мнению, было поровну молока. Этим мы обеспечим возможность удовлетворить этого чудака, дав ему любой из этих трех сосудов.

Теперь мы попросим второго и третьего чудаков указать тот сосуд, в котором, по их мнению, находится наибольшее количество молока. Если они укажут на разные сосуды, то следует вручить им указанные ими сосуды, а оставшийся сосуд отдать первому чудаку. В этом случае все трое уверены, что у них молока не меньше трети всего количества.
Прочитать остальную часть записи »

Вот уже все немного забыли веселое, солнечное лето и принялись за свои прямые обязанности: преподаватели – учить, а студенты – учится. Но вот проблема, первые всегда хотят научить больше, показать всю прелесть своего предмета, надавать много самостоятельной работы, что далеко не всегда нравится вторым, тем более, если последние при этом еще пытаются где-то подработать, что не редко встречается. Здесь и возникает дилемма, что на все не хватает времени и приходится, как-то выкручиваться…

Одним из способов выкрутится из выше описанной ситуации, есть делегирование некоторых своих дел другим людям. Например, долгий подбор материала и написание курсовой работы, или скучной набор очередного реферата. И в этом вам с удовольствием помогут профессиональные сотрудники ООО "ИнфоПлюс". Они не просто сделают это за вас, но индивидуально отнесутся к вашему заказу и к тому же бесплатно доработают его, при наличии замечаний от вашего научного руководителя.
Прочитать остальную часть записи »