Математика, решение онлайн!!!

В жизни часто случаются ситуации, когда следует отмерить некоторое количество жидкости, а мерного сосуда с делениями нет, есть лишь две емкости известного объема. Такие ситуации породили ряд интересных математических задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики.

Вот одна из них. В бидоне находится 8 литров молока. Имеется еще две банки вместимостью 3 и 5 литров. Требуется отлить в пятилитровую банку 4 литра молока.

Вначале это кажется невозможным делом, однако попытаемся такое переливание совершить. Начать можно двумя способами: либо налить полную пятилитровую банку, либо полную трехлитровую банку.

Проследим первую возможность дальше. Выливать молоко обратно в бидон бессмысленно, поэтому нальем из банки молоко во вторую банку. Чтобы было удобнее следить за процессом переливаний, будем рассматривать тройки чисел, где a₁ — количество молока в бидоне, a₂ — количество молока в пятилитровой банке, a₃ - количество молока в трехлитровой банке. Сначала у нас было такое распределение: a₁=8, a₂=0, a₃=0, потом: a₁=3, a₂=5, a₃=0, а дальше: a₁=3, a₂=2, a₃=3. Вылив молоко из трехлитровой банки обратно в бидон, получим распределение молока: a₁=6, a₂=2, a₃=0. Теперь перельем молоко из большей банки в меньшую и получим распределение a₁=6, a₂=0, a₃=2. Снова наполним пятилитровую банку и получим распределение: a₁=1, a₂=5, a₃=2. До окончания процедуры остался всего один шаг: дольем молоко из большой банки в маленькую: a₁=1, a₂=4, a₃=3. В маленькой окажется 3 литра, а в большой — 4 литра молока, что и требовалось.
Прочитать остальную часть записи »

В морской бой вы наверняка играли. На клетчатом листе бумаги каждый из противников рисует поле 10x10 клеток. На одном он расставляет свои корабли. Корабли не должны касаться друг друга ни сторонами, ни углами. По другому полю ведется стрельба: игрок называет координаты клетки, его противник сообщает о результатах: попал, утопил или промазал. Стреляют до первого промаха, затем ход передается противнику. Задача — утопить корабли вражеского флота прежде, чем утонут ваши.

Разумеется, нет смысла стрелять подряд по клеткам Аl, А2, АЗ, А4... Так можно погубить свой флот, прежде чем потопишь хоть один чужой корабль. Опытные «адмиралы» обычно сначала охотятся за линкором (четыре клетки), стреляя примерно по каждой четвертой клетке. При этом также учитывайте расстояние от других стен или уже затопленных кораблей. Рано или поздно неповоротливое огромное судно попадется. Если повезет, по дороге удастся подбить и что-нибудь помельче, но настоящая охота за крейсерами (три клетки) начинается после потопления линкора примерно так же — стрельбой по каждой третьей клетке. Ясно, что труднее всего переловить катера (одна клетка), — после победы над крейсерами и эсминцами (две клетки) все равно, как стрелять по оставшимся непроверенными клеткам. Либо попадешь, либо нет — тут не существует никакой выгодной игроку стратегии охоты...
Прочитать остальную часть записи »

Вместо двух осей нарисуем одну — луч, выходящий из начала координат, точки О. Каждая точка плоскости лежит на каком-то луче. Ее расстояние до начала координат будет первой координатой; обозначим ее буквой ρ. Второй же будет угол, на который надо повернуть нашу ось, чтобы совместить ее с лучом, на котором находится нужная точка; угол этот обозначим буквой. Такая система координат называется полярной; начало луча — точку О — называют полюсом, сам луч — полярной осью. Коренное отличие от декартовой системы бросается в глаза: одна и та же точка может иметь много угловых координат, отличающихся на 2к :
Φ = Φ + 271 = φ + 471 = φ + 2nk, где k —любое целое число. Это неудобно; поэтому часто считают, что 0 < φ < 2π.

Зато в этих координатах уравнение нашей окружности — проще некуда: ρ = R. Теперь мы можем нарисовать полярную координатную сеть, состоящую из линий постоянного радиуса и постоянного угла. Многие кривые, на первый взгляд сложно устроенные, после перехода к полярным координатам оказываются очень простыми. Например, спираль, задается в полярных координатах уравнением ρ = ρ₀ e^kφ как к ней подступиться, находясь в декартовой системе, что-то непонятно...

В пространстве тоже можно построить декартову систему координат, добавив к прямоугольным координатам плоскости перпендикулярную ось аппликат. Вслед за Декартом соответствующую координату точки обозначают буквой z. В трехмерном пространстве, исчисленном этими координатами, легко поддаются изучению геометрические тела довольно причудливых форм, сложность которых столь же обманчива, сколь сложность эллипса.
Прочитать остальную часть записи »

Люди Древнего мира путешествовали довольно далеко, и, конечно, им не приходилось рисовать карты и отмечать на них расположение гор и рек, городов и стран, удобные дороги и опасные места... Но, пользуясь готовой картой, трудно найти на ней город, если знаешь только его название. Поэтому все путешественники должны быть вечно благодарны древнегреческому ученому Гиппарху, около 100 года до н. э. предложившему нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу.

Долгое время лишь география — «землеописание» — пользовалась этим замечательным изобретением, и только в XIV веке французский математик Никола Оресм попытался приложить его к «землеизмерению» — геометрии. Он нарисовал на плоскости сетку из прямых линий, пересекающихся под прямыми углами, и стал задавать местоположение точек широтой и долготой.

Идея оказалась чрезвычайно плодотворной. Первым, кто по достоинству оценил новшество и обнаружил, какие обширные горизонты оно открывает перед наукой, был великий француз Рене Декарт. Его имя носит теперь прямоугольная система координат, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до «нулевой широты» — оси абсцисс и «нулевого меридиана» — оси ординат. По традиции, введенной Декартом, «широта» точки обозначается буквой х, «долгота» — буквой y. Чем же так замечательна декартова система координат?

До ее появления не существовало единого подхода к решению геометрических задач. В огромном количестве их каждый раз приходилось заново придумывать способ решения. Обозначив точки плоскости парами чисел x и y, оказалось возможным изучать связь между координатами различных точек, записывая уравнения и решая их. А уравнения многих очень сложных объектов оказались неожиданно простыми. Вот пример. Великий древнегреческий геометр Аполлоний проделал титанический труд, изучая форму кривых, получающихся при разрезании конуса плоскостью. Эти кривые — эллипс, гипербола и парабола — были долгое время одними из самых сложных объектов, известных геометрам. Но в декартовых координатах они задаются уравнениями, содержащими лишь первые и вторые степени координат. Выходит, это лишь следующий уровень сложности после прямых линий, в уравнении которых координаты входят только в первой степени...
Прочитать остальную часть записи »

Возможно ли теоретически доказать, что 0 = 1? Думаете, нет? Вспомните задачу про Ахиллеса и черепаху, которую рассматривали в предыдущем посте. Выходит, пустое ведро и полное ведро — одно и то же, но мы так же понимаем, что это не возможно.

Вы считаете, что вас обманывают? Вы уже наверно не раз встречали случаи в которых вас обманывает зрение. Но так же, как видите, и здравый смысл, если его опирать не на те факты, может привести к абсурдным выводам, если произвольно смешивать весьма точные математические понятия с обычными и не доказанными житейскими соображениями.

Именно такая смесь и была в употреблении у древних греков в V веке до нашей эры. Не случайно как раз в это время вошла в моду софистика — искусство ведения спора. Многие умные, но не очень честные люди жадно ухватились за возможность «строго логически доказывать», что черное — это белое, добро — это зло, истина — это ложь...

Однако нет худа без добра. Появление софизмов — рассуждений, правдоподобных в каждом куске, но вопиюще неверных в целом, — заставило математиков задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, или апории, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элей.
Прочитать остальную часть записи »

Помимо круга, квадрата, треугольников, существует масса других геометрических фигур. Дать всем им название не представляется возможным. Поэтому, как в биологии, где растения и животных разделяют на классы, геометрические фигуры разделяют на классы фигур, похожих между собой. Посмотрим, как это делается в «Словаре русского языка» СИ. Тут наше терпение лопается, поскольку линии могут быть самыми разнообразными. Будет ли треугольник выпуклым? Из приведенных «определений» ничего определенного сказать нельзя.

В математике понятие выпуклой фигуры имеет четко определенный смысл; Теперь ясно, что треугольник — выпуклое тело, а четырехугольники бывают как выпуклые, так и не выпуклые. А какие теоремы можно доказать по данной теме? Таких теорем много. Вот две простейшие.

Общая часть двух выпуклых фигур сама является выпуклой. Доказательство этого утверждения совсем простое: возьмем две точки А и В, принадлежащие как первой, так и второй. Но так как они выпуклые, то отрезок, соединяющий точки А и В, принадлежит и первой и второй, значит, он принадлежит их общей части.

Вторая теорема доказывается более сложно, но факт, содержащийся в ней, гораздо неожиданнее. Требование выпуклости здесь очень важно. Ведь четыре фигуры, из которых только одна выпуклая, таковы, что у любых трех найдется общая точка, и в то же время нет точки, общей всем четырем данным телам.

Если рассмотреть набор данных геометрических тел такой, что каждые две имеют общую точку, то мы не можем гарантировать наличие общей точки для всех их.
Прочитать остальную часть записи »