Математика, решение онлайн!!!

Вспоминая о Зеноне Элейском, нельзя не рассказать о самой эффектной из его апорий, в которой быстроногий Ахиллес и медлительная черепаха соревнуются в беге. Думаю, все знают эту знаменитую задачу, но все же вкратце напомню. Ахиллес дает черепахе фору, и забег начинается. Но пока пробегает ту часть, что была форой, она же в то время проползает еще один небольшой отрезок, пока он и этот пробежит, то она опять еще… И так до бесконечности. Если идти по такой логике, то он никогда не догонит ее, что вообще не совместимо со здравым умом!

Можно ли вообще составлять арифметические выражения, содержащие бесконечное число действий? И можно ли говорить о моменте времени, который наступает уже после всех моментов с номерами один, два, три, миллион?.. Сказать, что Ахиллес догонит черепаху в «момент номер бесконечность»? А как занумеровать моменты дальше?

На все Зеноновы «можно ли» современная математика отвечает примерно так:

«Можно, но только осторожно». Разработана теория бесконечных рядов, вроде того, что описан выше, обоснованно интегрирование — суммирование бесконечного числа непрерывно меняющихся слагаемых. Появилась теория трансфинитов — упорядоченного множества величин, в котором натуральные числа составляют натуральный кусок. И всякий раз математики вынуждены были прибегать к громоздким рассуждениям, чтобы описать все это точно, аккуратно, без логических противоречий.

Ну, вот, учебный год уже начал набирать обороты, потихоньку начинают задавать сложные домашние задания, подготовки к важным контрольным работам и так дали. И в этот момент, если что-то пропустить или не понять до конца, то потом будет намного сложнее.

Можно, конечно, поспрашивать в друзей, родителей или поискать самостоятельно в Интернете, но и это не всегда помогает. Самый правильный выход с данной ситуации – это нанять репетитора. Конечно, это будет не бесплатно, но зато качественно, этот человек не просто сможет помочь вам решить домашнее задание, а именно объяснить, как оно делается и почему именно так.

Возникает вопрос: «Где же его взять?», - что бы он был профессионал своего дела, а то мало ли приедет какой-то студент-двоечник, ничего толком не научит, да еще и денег за это попросит. Также не хочется и переплачивать, если материал не сложный и его легко может объяснить студент-отличник, то это явно будет на много дешевле, чем нанимать преподавателя со стажем. Как, вариант, можно поспрашивать у знакомых, которые сами пользуются подобными услугами, если таковые есть, но это бывает не всегда.

Что же делать, если таковых нет? Выход есть, это сайт: Repetitors.info, очень качественный ресурс, который поможет вам с выбором, и значительно облегчит вам данную работу. На данный момент там 58487 анкет по 74 разных предметах и к тому же практически во всех больших городах России, а также есть филиалы в Украине, Казахстане и Франции.
Прочитать остальную часть записи »

Сегодня рассмотрим основные понятия дифуров: определение, общий, основные составляющие и методы их решения.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое содержит производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

В тех случаях, когда неизвестные функции зависят только от одного аргумента, то оно называется обыкновенным, ну а если от нескольких, то уравнение будет называться дифференциальным уравнением с частными производными (ДУЧП). Здесь пока что рассматриваются только обыкновенные.

Общий вид дифура с одной неизвестной функцией таков:
Φ(х,у,у',у",...,у⁽ⁿ⁾) = 0.

А его порядком называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. То есть в выше указанно виде мы имеем ДУ n-го порядка.

Примеры. Уравнение у' = y²/x есть ДУ первого порядка; а уже у" + у = 0 — второго порядка, ну а y'² = х³ — так же первого.

Функция у = φ(х) называется решением ДУ, если последнее обращается в тождество после подстановки у = φ(х).

Основной задачей теории дифуров является нахождение всех решений данного ДУ, а их всегда много, так как они могут отличаться минимум на какую-то константу. В простых случаях эта задача сводится к нахождению интеграла. Поэтому его решение еще могут называть его интегралом, а процесс нахождения всех этих решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Прочитать остальную часть записи »

Цепной линией называется линия, по которой провешивается однородная нерастяжимая нить, закрепленная в двух ее концах.

В первоначальной постановке вопроса речь шла о линии провеса цепи, откуда и название «цепная линия». Заменяя цепь нитью, мы отвлекаемся от ряда обстоятельств (размер звеньев, их трение и т. д.), затрудняющих исследование. Напряжение поле тяготения Земли предполагается постоянным по величине и направлению.

В зависимости от положения точек Р, Q, где закрепляются концы нити, и от длины l самой нити (l > PQ) дуга провеса имеет различный вид. Однако исследование показывает, что изображение дуги PQ, сделанное в надлежащем масштабе, можно совместить с некоторой дугой P₀Q₀ вполне определенной бесконечной линии LAN. Именно к этой бесконечной линии в целом (а не к дуге провеса, составляющей ее часть) и относится наименование «цепная линия».

Низшая точка А называется ее вершиной.

Когда рассмотреть случай, в котором точки закрепления цепи находятся на равной высоте и цепь практически такая же, как и расстояние между указанными точками, дуга провеса кажется тождественной дуге параболы. Долгое время все так и думали. Но велики ученый Г. Галилей, работая над теорией механики, поставил под сомнение правильность этого мнения, но, правда, так он и не смог как ни подтвердить его, так и ни опровергнуть. А уже в 1669 г. математик Юнгиус установил теоретически и практически, что линия провеса цепи не парабола. Хотя ему не хватило средств для того, что бы найти истинную форму этой лини. Но вскоре после того, как великие математики И. Ньютон и Г. В. Лейбниц разработали известные методы анализа бесконечно малых, стало возможным решить и данную задачу. Она была сформулирована в 1690 г. Якобом Бернуллии и решена его братом Иоганном Бернулли, X. Гюйгенсом и Г В. Лейбницем.

Я. Бернулли также поставил и другую задачу, которая звучала так: пренебрегая весом паруса, раздуваемого ветром, найти линию профиля паруса. Он сам и составил дифференциальное уравнение, которое опять решил его брат Иоганн. Оказалось, что это так же будет цепная линия.
Прочитать остальную часть записи »

Иосиф Флавий, знаменитый писатель I века нашей эры, был также одним из вождей восставшей Иудеи. Об Иудейской войне он написал знаменитую книгу, в которой рассказал и историю своего пленения Титом Флавием Веспасианом, тогда — полководцем, а впоследствии римским императором.

Римские войска, пришедшие усмирять мятеж в провинции Иудея, осадили галилейскую крепость Иотапату, гарнизоном которой в тот момент командовал Иосиф. В крепости в достатке было продовольствия, но не было источников, и защитники собирали и использовали дождевую воду. Длительную осаду крепость выдержать не могла, и римляне предполагали взять ее за одну - две недели. Они просчитались — Иотапата продержалась «семь раз по семь дней», но в конце концов пала. Последние защитники укрылись в пещерах; в одной из таких пещер спрятался и Иосиф вместе с сорока знатными иудеями. И тут между обитателями пещеры вышел спор: Иосиф настаивал, что нет позора в сдаче в плен, но его товарищи считали, что лучше умереть, чем стать римскими рабами. Чтобы не сдаться живыми и одновременно не впасть в грех самоубийства, в конце концов решили бросать жребий, и каждый, на кого он укажет, должен был быть убит следующим по очереди. «Эта история породила впоследствии «задачу Флавия». Видимо, в божественное предопределение не очень верилось, и многие задавались вопросом: как удалось хитроумному Иосифу подстроить так, чтобы именно он в конце концов уцелел? По сведениям, сообщенным самим Флавием, трудно понять, как именно разыгрывалась «очередь на смерть», но в конце концов утвердилось мнение, что обитатели пещеры попросту считались, как это делают дети. Так возникла «задача Флавия»: если считать до одного и того же числа, каждый раз выводя из круга того, на ком закончился счет, и начиная считать вновь со следующего за выбывшим, кто останется в круге последним?
Прочитать остальную часть записи »

Знаете ли вы, что среди зрителей, сидящих в Большом театре во время спектакля, обязательно есть люди, родившиеся в один и тот же день одного и того же месяца? Считайте сами; в зале Большого театра 2000 мест. И даже если не все они заполнены, можно смело утверждать, что на спектакле собралось более 366 человек. Но 366 — это максимально возможное число дней в году, считая 29 февраля. Итак, для 367 - го зрителя просто не остается свободной от дней рождений его соседей по залу даты в году.

Просто? Тем не менее это рассуждение даже имеет свое название в математике: принцип Дирихле. По традиции он почему-то всегда объясняют на примере кроликов в клетках; если общее число кроликов больше числа клеток, в одной из клеток наверняка сидит более одного кролика.

Этим принципом в неявном виде пользовался, например, Ферма в XVII веке; но широко применяться в доказательствах он стал лишь с прошлого века! Несмотря на свою простоту, это рассуждение оказалось чрезвычайно плодотворным. Вот только один пример. Если делить одно целое число на другое, например 1 на 7, что мы получим? Будем делить в столбик, получая все новые и новые остатки. Но поскольку остатками от деления на 7 могут быть лишь числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 0, мы либо должны на каком-то шаге получить 0 и остановиться, либо после шестого деления один из остатков обязан повториться. Дальше делить нет смысла — этот остаток мы уже разделили на 7, и все результаты у нас перед глазами. Ясно, что деление будет продолжаться бесконечно, но мы будем получать снова и снова одну и ту же последовательность цифр — период.

Выходит, при делении целого числа на целое мы получим либо конечную десятичную дробь, либо периодическую — и более ничего!

Как видим – все гениальное просто, и к этому же относится и принцип Дирихле.