Математика, решение онлайн!!!

И так, немного материала для школьников, как бы этого не хотелось, но скоро очередное ЕГЭ, которое надо сдать на лучший балл, если хотите ещё куда-то поступить. Ну, или хотя бы вообще сдать, для тех, у кого вообще нелады с математикой. Именно поэтому я решил вас познакомить с Александром и Натальей Крутицких, которые от всей души готовы вам помочь в этом не легком деле.

Как вы уже, наверное, знаете, для того, чтобы в прошлом году набрать проходной бал на ЕГЭ по математике и получить долгожданный аттестат, было необходимо просто решить любые пять задач из части "В", на ваше усмотрение. В этом же году произошли некоторые изменения, добавилось много задач по геометрии, а также задачи по теории вероятностей. И теперь в части "В" не 12, а уже 14 задач. НО! В 2012 году вы должны набрать все те же обязательные 24 балла!!! Ну, а это по-прежнему 5 задач части "В".
Прочитать остальную часть записи »

«Трактат о континууме» (Tractatus de continuo), написанный между 1328 и 1335 гг., посвящен учению о непрерывном и дискретном, лежащему на границе между физикой, математикой и философией. Европейским ученым из трудов Аристотеля и арабских философов были известны различные точки зрения на вопрос о строении континуума. Брадвардин насчитывает пять концепций, распространенных ранее и в его время.

«Одни,— пишет он,— как Аристотель, Аверроэс и большинство нынешних, говорят, что континуум не составляется из атомов, но из частей, которые делимы без конца. Другие же утверждают, что он состоит из неделимых, притом двояко, так как Демокрит полагает, что континуум состоит из неделимых тел, а другие,— что из точек. Еще и эти разделяются надвое, потому что Пифагор, глава этого направления, Платон и наш современник Вальтер полагают, что континуум составляется из конечного числа неделимых, а другие,— что из бесконечного числа. И эти последние делятся надвое, ибо одни, как наш современник Генрик, утверждают, что континуум составляется из бесконечного числа неделимых, непосредственно связанных друг с другом, а иные, как Роберт Линкольнский,— из бесконечного числа их, связанных друг с другом опосредованным образом».

Упоминаемые Брадвардином современники — это англичане Уолтер Кеттон (ум. 1342), оксфордский ученый Генри Харклей (ум. 1371) и Роберт Гроссетест. И Роджер Бекон занимался этими вопросами, стоя на стороне перипатетиков. Против мнения, что континуум составлен из неделимых частей, он выдвигал вслед за древними такое соображение. Если плоскость состоит из точек, то диагональ квадрата равна его стороне, так как обе состоят из одинакового числа точек. Но диагональ не равна стороне и, значит, плоскость не состоит из точек.
Прочитать остальную часть записи »

В «Трактате об отношениях или об отношениях скоростей при движениях» (Tractatus proportionum seu de proportionibus velocitatum in notibus, 1328) наибольший интерес представляет попытка Брадвардина математически выразить зависимость между скоростью v, движущей силой F и сопротивлением R. Английский ученый подвергает критике положение перипатетиков, согласно которому, говоря по-современному, скорость пропорциональна отношению движущей силы к сопротивлению. Мы оставим в стороне остроумные доводы, отчасти предвосхищающие позднейшую аргументацию Галилея, как и то обстоятельство, что сами понятия скорости и силы оставались весьма неясными. Существенно, что Брадвардин приходит к новому закону скорости, по-своему толкуя текст Аристотеля. По Аристотелю, при удвоении, утроении и т.д. отношения F/R соответственно удвоится, утроится и т. д. скорость. Брадвардин считает, что здесь должно иметь место образование составного — двойного, тройного и т. д. — отношения, другими словами, что
F/R=n^v
Прочитать остальную часть записи »

Заслуживающие внимания результаты (в теории континуума) были получены выдающимся английским мыслителем, магистром Томасом Брадвардином (ок. 1290—1349), который учился и преподавал в Оксфордском университете, а под конец жизни стал архиепископом Кентерберийским. Брадвардину принадлежат три сочинения по математике и одно по механике. Наименьший интерес представляет «Теоретическая арифметика» (Arithmetica speculative) — сокращение арифметики Боэция. Более оригинальна «Теоретическая геометрия» (Geometria speculative), состоявшая из четырех отделов, каждый из которых открывался соответствующими определениями.

В первом отделе рассматриваются звездчатые многоугольники, получаемые из правильных выпуклых многоугольников (начиная с пятиугольника) путем продолжения их сторон до пересечения. Из этих звездчатых многоугольников первого порядка (начиная с семиугольника) Брадвардин образует звездчатые многоугольники второго порядка и т.д., всякий раз увеличивая число вершин на две. Брадвардин установил, что сумма острых углов звездчатого пятиугольника равна двум прямым и увеличивается каждый раз на две прямых с каждой новой вершиной. Исследование звездчатых многоугольников представляют собой самостоятельный вклад Брадвардина в науку. Сумма углов звездчатого пятиугольника была найдена несколько ранее Джованни Кампано в комментариях к его переводу «Начал» Евклида.

Во втором отделе «Теоретической геометрии» Брадвардин занимается изопериметрическими свойствами многоугольников, круга и шара, следуя основанному на труде Зенодора анонимному латинскому переводу с арабского. Третий отдел посвящен учению о пропорциях. Здесь говорится об иррациональности √2 как отношения диагонали квадрата к его стороне, упоминается «Измерение круга» Архимеда как сочинение, изобилующее трудными и сложными местами, — из него приводятся теоремы о равенстве круге прямоугольному треугольнику со сторонами, равными полуокружности и полудиаметру, а также приближение π ≈ 22/7. В четвертом отделе речь идет о существовании только пяти правильных многогранников и рассматривается, со ссылкой на Аверроэса, вопрос о заполнении пространства теми или иными правильными телами. Аверроэс неправильно полагал, что такое заполнение возможно не только с помощью кубов, но и с помощью других тел. Некоторые предложения о кругах на сфере примыкают к Феодосию. Прочитать остальную часть записи »

Оба мыслителя, как Гроссетест так и Бекон, высоко ценили математику, как главное пособие физики. Предвосхищая Галилея, Гроссетест писал: «Все принципы природных действий должны, быть даны посредством линий, углов и фигур» Ч. Бекон в IV части «Главного труда», носящей характерное заглавие «О пользе математики», восхваляет эту науку, называя ее вратами и ключом к другим наукам. Из трудов Бекона видно, что он был знаком с «Началами» и «Оптикой» Евклида, «Оптикой» и «Алмагестом» Птолемея, рядом результатов Архимеда, Аполлония, Зенодора и т. д.

Дело не ограничивалось декларациями. Бекону принадлежит, например, правило, выражающее степень интенсивности смеси двух количеств с разными интенсивностями, формально совпадающее с калориметрической формулой, вновь найденной и экспериментально проверенной в XVIII в. Г. В. Рихманом. Более сложные вопросы математики находили применение в оптике, основывавшейся на переводе знаменитого труда Ибн-ал Хайсама. Это особенно хорошо видно из «Оптики» (Optica) польского ученого Витело (ок. 1225 — ок. 1280), который обучался около 1250 г. в Париже и был другом упоминавшегося ранее переводчика Виллема из Мербеке.

Внимание к учению о бесконечном и континууме привлекали проблемы атомистики, которой отведено такое важное место в сочинениях Аристотеля и на которую опирался в своей оптике Ибн ал-Хайсам. И здесь одним из зачинателей в средневековой Европе был Гроссетест, сам стоявший на позициях математического атомизма. У него мы встречаем по крайней мере постановку вопроса о сравнении различных бесконечностей вроде сумм некоторых простейших (расходящихся) рядов.
Прочитать остальную часть записи »

На протяжении XIII и XIV вв. в английских и французских университетах видное место заняла разработка вопросов физики, причем отправным пунктом служили натурфилософские сочинения Аристотеля и его последователей на арабском Востоке. Особенное внимание привлекали механика, с одной стороны, и некоторые свойства тепловых, оптических и иных явлений — с другой.

Одним из пионеров этого движения был английский философ и ученый Роберт Гроссетест (ок. 1175—1253) (grosseteste — большеголовый), епископ Линкольнский. Роберт получил образование в Оксфорде и, быть может, в Париже, а затем был лектором и первым канцлером Оксфордского университета. Другим, еще более прославленным лидером явился ученик Гроссетеста Роджер Бекон (ок. 1214—1294), воспитывавшийся в Оксфорде и Париже и преподававший в обоих университетах. Оба они обладали огромной эрудицией, почерпнутой главным образом из сочинений греческих и арабских авторов, и были знатоками Аристотеля. Деятельность Гроссетеста и Бекона обняла всю совокупность знаний. Они писали по астрономии, по оптике, бывшей тогда важнейшей из физических наук, о календаре, подчеркивая необходимость его реформы, которая, впрочем, была произведена гораздо позднее. «Главный труд» (Opus majus) (1266—1267) Бекона представлял собой вместе с двумя приложениями подлинную энциклопедию наук XIII в., включая географию, алхимию и т. д.

Мировоззрение Гроссетеста и Бекона было ограничено, ибо они подчиняли философию догматам религии, но они смело вносили новый дух более свободного исследования, более критического отношения к признанным тогда авторитетам натурфилософии. Бекон под конец жизни поплатился за это, как и за смелое обличение испорченных нравов духовенства и высших сословий, многолетним тюремным заключением. Гроссетест и с еще большей силой Бекон отстаивали ту новую для их времени мысль, что познание физического мира должно основываться на наблюдении и опыте, а не на текстах, одобренных церковью. Что и привело к развитию науки и особенно математики, как именно это произошло, вы узнаете в следующей статье.

В первых университетах математике обучали в объеме квадривиума на факультете искусства, а некоторые более тонкие вопросы излагались в курсах философии, особенно после укрепления в конце XIII в. аристотелизма. Впоследствии в курс математического образования включают изложение одной или двух первых книг «Начал», введение в сферическую астрономию, затем лекции по началам оптики, теории движения планет, теории пропорций, учение о широте форм (о котором будет сказано далее). Но в течение нескольких столетий математика оставалась только вспомогательной дисциплиной и отдельных кафедр, да и особых преподавателей математики не было. По-видимому, первым специализировался на преподавании одних математических наук магистр Венского университета Иоганн из Гмундена (ок. 1380—1442). С 1412 г. он читал в Вене лекции по «алгоритму целых и дробей», т. е. по арифметике, основанной на позиционной нумерации, по оптике, сферике, церковно-календарным вычислениям и, позднее, курс астролябии.

Подсобная роль математики в университетах отрицательно сказывалась на знаниях студентов, которые, например, в теоретической геометрии часто не шли далее нескольких первых теорем I книги «Начал». Еще в начале XVI в. в Парижском университете кандидаты на степень магистра искусств вместо сдачи экзамена по геометрии должны были присягать в том, что прослушали лекции по шести первым книгам «Начал». Все же, несмотря на преобладание в преподавании духа авторитарности и схоластики, несмотря на подчиненное положение математики, университеты были важными центрами распространения и развития математических знаний, преимущественно в более отвлеченных направлениях.
Прочитать остальную часть записи »

Очень большую роль в развитии математики сыграли университеты. Древнейший в Европе университет — медицинский. Он был основан в Салерно, точной даты не известно, но не позднее первой половины XI в.

Около 1100 г. также была открыта школа в Болонье, которая потом переросла в университет, в нем на основе римского права разрабатывались первые юридические нормы, интерес к которым возрастал вследствие развития городов. На базе еще нескольких монастырских школ в конце XII в. вырос Парижский университет, в котором обучались тысячи студентов со всех концов Европы; примерно тогда же были созданы знаменитые Оксфордский и в 1209 г. и Кембриджский университеты. В XIV в. появляются университеты в Праге — в 1348 г., в Кракове — 1364 г., в Вене — 1365 г., в Гейдельберге — 1385 г., затем в Лейпциге — 1409 г., в Базеле — 1459 г. и т. д. Все выше перечисленные университеты, в отличие от первых двух, не были узкопрофессиональными школами.

Организация преподавания была примерно такова: университет состоял из четырех факультетов — искусств, богословия, права и медицины. Студент, нередко подросток, поступал прежде всего на факультет искусств, где обучался около шести лет, и после испытаний мог перейти на какой-либо другой факультет.

Наиболее популярным и влиятельным был богословский факультет, где обучение продолжалось около восьми лет и завершалось испытанием и диспутом. Преподаватели делились на младших — бакалавров, магистров — и докторов. Во главе университетов стояли монахи-богословы.