Чтобы понять, что такое фундаментальная система решений вы можете посмотреть видео-урок для этого же примера кликнув здесь. Теперь перейдем собственно к описанию всей необходимой работы. Это поможет вам более детально разобраться в сути данного вопроса.

Как найти фундаментальную систему решений линейного уравнения?

Возьмём для примера такую систему линейных уравнений:
система уравнений
Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.
выпишим матрицу
Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под a_{11}, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента a_{21}, надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента a_{31}, надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента a_{41}, надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента a_{31}, надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.
преобразование матрицы
Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под a_{22}, надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента a_{32}, надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента a_{42}, надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента a_{52}, надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.
треугольная матрица
Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.
окончатильная матрица
По этой матрице записываем новую систему уравнений.
составляем систему уравнений по матрице
Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.
переносим неизвестные
Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим x_3, потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим x_2, а потом в первое уравнение и тут выразим x_1. Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.
решаем систему уравнений
После чего вы вместо x_4 и x_5, можем подставлять любые числа и находить x_1, x_2 и x_3. Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо x_4 подставить 1, а вместо x_5 подставить 0, найти x_1, x_2 и x_3, а потом наоборот x_4=0 и x_5=1.

Какие именно векторы создают фундаментальную систему решений данной системы уравнений?

Находим фундаментальную систему решений
Для лучшего понимания хода роботы можете посмотреть видео-урок по данном задании.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (13 голосов, рейтинг: 4,08 с 5)
Loading...Loading...