Фундаментальная система решений (конкретный пример)

Вы всегда можете заказать более подробное решение вашего задания здесь!

.
Если что-то из поданного материала вам не совсем понятно, то подпишитесь на мою рассылку, и вы получите 5 подробных видеоуроков по этой теме. Подписаться вы можете на странице: Рассылка.
Возьмём для примера такую систему уравнений:

Найдём решение этой линейной системы уравнений методом Гаусса. Для начала нам надо выписать матрицу коэффициентов системы.

Преобразуем эту матрицу к треугольной. Первую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{11}$ , надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{21}$ , надо от второй строки вычесть первую, и разность записать во второй строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$ , надо от третьей строки вычесть первую и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{41}$ , надо от четвёртой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{31}$ , надо от пятой строки вычесть первую умноженную на 2 и разность записать в пятой строке.

Первую и вторую строку переписываем без изменений. И все элементы, что стоят под $a_{22}$ , надо сделать нулями. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{32}$ , надо от третьей строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в третьей строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{42}$ , надо от четвёртой строки вычесть вторую умноженную на 2 и разность записать в четвёртой строке. Что бы сделать ноль в место элемента $a_{52}$ , надо от пятой строки вычесть вторую умноженную на 3 и разность записать в пятой строке.

Видим, что последние три строки – одинаковые, поэтому если от четвёртой и пятой вычесть третью, то они станут нулевыми.

По этой матрице записываем новую систему уравнений.

Видим, что линейно независимых уравнений у нас, только три, а неизвестных пять, поэтому фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Значит, нам надо перенести две последние неизвестные вправо.

Теперь, начинаем выражать те неизвестные, что стоят в левой части через те, что стоят в правой части. Начинаем с последнего уравнения, сначала выразим $x_3$ , потом полученный результат подставим во второе уравнение и выразим $x_2$ , а потом в первое уравнение и тут выразим $x_1$ . Таким образом мы все неизвестные, что стоят в левой части, выразили через неизвестные, что стоят в правой части.

После чего вы вместо $x_4$ и $x_5$ , можем подставлять любые числа и находить $x_1$ , $x_2$ и $x_3$ . Каждая такая пятёрка чисел будет корнями нашей изначальной системы уравнений. Что бы найти векторы, что входят в ФСР нам надо вместо $x_4$ подставить 1, а вместо $x_5$ подставить 0, найти $x_1$ , $x_2$ и $x_3$ , а потом наоборот $x_4=0$ и $x_5=1$ .