Корень с комплексного числа. Тригонометрическая форма.

дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ

Корень с комплексного числа. Тригонометрическая форма.

Вы всегда можете заказать более подробное решение вашего задания здесь!

.

Решим такую задачу:

Найти корень четвёртой степени с комплексного числа:

- 2 - 2√ 3 i .

Решение:

Для начала нам надо перевести это комплексное число к тригонометрической форме.
Напомним некоторые формулы.
Если дано комплексное число

z = x + yi	,

то модуль этого числа вычисляется по формуле

\|z\|=√	x² + y²	.

Найдём модуль нашего числа:

\|z\|=√	(-2)² + (-2√3)²	=√	4 + 12	= 4	.

Теперь с формул cos(λ) =

x
\|z\|

;

sin(λ) =

y
\|z\|

нам надо вычислить угол λ.

В нашем случае cos(λ) =

-2
4

= -

1
2

;

sin(λ) =

- 2√3
4

= -

√3
2

.

Решив систему из этих уравнений мы видим, что λ =

4π
3

Теперь можем записать наше число через тригонометрическую форму:

- 2 -2√3 = 4 ( cos

4 π
3

+ i sin

4 π
3

).

Имеем следующую формулу для вычисления корней:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} (\cos \frac{\lambda + 2 \pi k}{n} + i \sin \frac{\lambda + 2 \pi k}{n} )$
Подставим наши данные:
$\sqrt[n]{z} = \sqrt[4]{4} (\cos \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} ) = \sqrt{2} (\cos \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} + i \sin \frac{\frac{4 \pi}{3} + 2 \pi k}{4} )$ , где k меняется от 0 до 3. Таким образом, мы найдём все четыре корня.
Подставим наши данные в эту формулу и найдём соответствующие косинусы, синусы, что бы перейти опять к арифметическому виду.

w₀ = √2 ( cos

π
3

+ i sin

π
3

) =

√2 (

1
2

+ i

√3
2

) =

√2
2

+ i

√6
2

;

w₁ =

√2

(

cos

10π
12

+ i

sin

10π
12

) =

√2

(

cos

5π
6

+ i

sin

5π
6

) =

√2

(

-

√3
2

+ i

1
2

) =

=

-

√6
2

+ i

√2
2

;

w₂ = √2 ( cos

16 π
12

+ i sin

16 π
12

) =

√2 ( cos

4 π
3

+ i sin

4 π
3

) =

√2 ( -

1
2

- i

√3
2

) =

= -

√2
2

- i

√6
2

;

w₃ = √2 ( cos

22 π
12

+ i sin

22 π
12

) =

√2 ( cos

11 π
6

+ i sin

11 π
6

) =

√2 (

√3
2

- i

1
2

) =

=

√6
2

- i

√2
2

.

На первый взгляд эти данные могут казаться невероятными, но они реально используются при решении многих задач в кибернетике, физике и других точных науках.