.
Больше информации по дифференцированию вы можете получить здесь!
Возьмём, для примера, вот такое линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
дифференциальное уравнение
Выпишем характеристическое уравнение, такого же, но однородного уравнения. И найдём его корни:
однородное дифференциальное уравнение
Видим, что имеем один вещественный корень, поэтому решение однородного уравнения будет такое (найти решение однородного уравнения вы можете здесь):
Линейное однородное дифференциальное уравнение
Видим, что у нас есть e^x и sin(x), и поэтому разделим, ту часть нашего неоднородного уравнения, что идёт после знака равности, на две:
неоднородное дифференциальное уравнение
Видим, что для первой функции коэффициент возле степени экспоненты единица и как раз она и есть корнем нашего характеристического уравнения, поэтому надо помножить на x, а потому что корень кратности два, то на x^2. И ещё, возле экспоненты есть многочлен первой степени 3x, то запишем его общею форму Ax+B. Видим, что для второй функции коэффициент при x не совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому запишем просто в общем виде.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Додадим эти две функции.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Что бы подставить это значение в наше начальное уравнение, нам надо ещё найти две производные.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
решить дифференциальное уравнение
Подставляем полученные результаты в начальное уравнение:
решить однородное дифференциальное уравнение
Прировняем коэффициенты при e^x:
решить неоднородное дифференциальное уравнение
Упростим эту равность.
решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
Прировняем коэффициенты при x и без x. И найдём неизвестные A и B.
характеристическое линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Точно также найдём остальные неизвестные, прировняв коэффициенты при других функциях.
Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Теперь мы можем записать нашу функцию уже с известными коэффициентами:
Вычеслить Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
И найдём общее решения для начального дифференциального уравнения:
Найти Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Facebook

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 4,50 с 5)
Loading...Loading...