.

В декартовой системе координат с помощью определённого интеграла можно вычислить площадь практически любой плоскости. Также можно вывести формулу нахождения площади этой фигуры. Как это сделать мы подробно рассмотрим на этом примере.
Возьмём функцию обычного эллипса:
Формула эллипса в декартовой системе координат
Нам надо найти площадь этого эллипса. Сделаем рисунок:
график эллипса в декартовой системе координат
Преобразуем эту функции к следующему виду.
преобразованная формула эллипса
Теперь найдём площадь этого эллипса. Поскольку формула без цифр, то таким образом выведем формулу для вычисления площади эллипса. Здесь можно рассматривать часть фигуры, которая есть над осью абсцисс и под ней. Но мы видим, что они одинаковы, поэтому можем найти площадь одной из этих частей и умножить на два.
Плоскость эллипса
Таким образом, запишем следующий интеграл:
Вычисление площади эллипса
Использовав формулу 51 с этой страницы, мы вычислим данный интеграл.
формула определённого интеграла
Таким способом мы и вывели формулу для вычисления площади эллипса.

Точно также можем вывести эту же формулу. Если будем рассматривать только ту часть эллипса, что расположена в первой четверти координатной плоскости, то видим что в каждой четверти точно такая же часть эллипса. То есть найди площадь этой части эллипса и умножить её на четыре. Можете сами это перепроверить.
Упрощение и решение интеграла

Оцените материал:

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 голосов, рейтинг: 4,67 с 5)
Loading...Loading...