Математика, решение онлайн!!!

.
Ознакомиться с правилами решения таких упражнений вы можете по пошаговым видеоурокам на конкретных примерах, если вы их ещё не смотрели, то обязательно подпишитесь на мою рассылку здесь!

• Производная умножения функций $(uv)'=u'v+v'u$:
  1. $y(x)=x^2 \sin(x)$
     
     $y'(x)=(x^2 \sin(x))' =2x \sin(x) + \cos(x) x^2.$
     Мы видим, что $u$ это $x^2$, а $v$ это $\sin(x)$, а дальше всё делаем по выше указанной формуле и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.

  2. $y(x)=\sqrt{x} \arctan (x)$
     
     $y'(x)=(\sqrt{x} \arctan (x))' =\frac{1}{2 \sqrt{x}} \arctan{x} + \frac{1}{1+x^2} \sqrt{x}.$
     Мы видим, что $u$ это $\sqrt{x}$, а $v$ это $\arctan (x)$, а дальше всё делаем по выше указанной формуле и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.

• Производная деления функций $( \frac u v )' = \frac{u'v-v'u}{v^2}$:
  1. $y(x)= \frac{ \arcsin(x) }{ \arccos(x) }$
     
     $y'(x)=( \frac{ \arcsin(x)}{ \arccos(x)})' = \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} \arccos(x) - (- \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}) \arcsin(x) }{\arccos^2 (x)} = \frac{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} ( \arccos(x) + \arcsin(x) ) }{\arccos^2 (x)} = \frac{ \pi }{2 \sqrt{1-x^2} \arccos^2 (x)}.$
     Мы видим, что $u$ это $\arcsin(x)$, а $v$ это $\arccos(x)$, а дальше всё делаем по выше указанной формуле для деления и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.

  2. $y(x)=\frac{ \cos(x)}x$
     
     $y'(x)=( \frac{ \cos(x)}x)' = \frac{ - \sin(x)x - \cos(x) }{x^2 } = -\frac{ x \sin(x) + \cos(x) }{x^2 }.$
     Мы видим, что $u$ это $\cos(x)$, а $v$ это $x$, а дальше всё делаем по выше указанной формуле для деления и пользуемся таблицей производных от основных функций. Её вы можете посмотреть здесь.

• Производная сложной функции $y'=f'(t)t'(x)$ :
  1. $y(x)= \sin^3 (x)$
     
     $y'(x)=( \sin^3 (x))' =$
     Внешней функцией $f(t)$ здесь будет $t^3$, а внутренней $t(x)$ – $sin(x)$. Далее эти данные поставляем в формулу для дифференцирования внешней функции и пользуемся таблицей производных от основных функций.
     $= 3 \sin^2 (x) \sin' (x) = 3 \sin^2 (x) cos (x).$

  2. $y(x)=\arctan^2 (sin(x))$
     
     $y'(x)=(\arctan^2 ( \sin(x)))' =$
     Внешней функцией $f(t)$ здесь будет $t^2$, а внутренней $t(x)$ – $\arctan ( \sin(x) )$. Сначала используем формулу для дифференцирования внешней функции для этих функций:
     $=2 \arctan ( \sin(x) ) (\arctan ( \sin(x) ))'=$
     Потом видим, что функция $\arctan ( \sin(x) )$ также сложная, поэтому её также надо дифференцировать по данной формуле. Внешней функцией $f(t)$ здесь будет $t\arctan(t)$, а внутренней $t(x)$ – $sin(x)$. Далее эти данные поставляем в формулу для дифференцирования внешней функции и пользуемся таблицей производных от основных функций.
     $=2 \arctan ( \sin(x) ) \frac{1}{1+ \sin^2 (x)} (\sin(x))' = 2 \arctan ( \sin(x) ) \frac{1}{1+ \sin^2 (x)} \cos(x).$

В Мой Мир

Tweet

0

Комментарии (4) на “Производная функции (конкретные примеры).”