Нахождение оптимального расстояния через производную
.
Задача. Группа соревнующихся пловцов направляется с лодки А в расположенный на берегу пункт В. Условия соревнования разрешают часть пути сделать по суше. Лодка стоит против пристани О на расстоянии ОА = a = 360 м; пункт назначения В расположен от пристани O на расстоянии ОВ = b = 420 м. Какой наилучший результат может показать участник соревнования, если он будет покрывать 90 м в минуту вплавь и 150 м в минуту бегом.
Всё схематически показано на рисунке.
Решение. Пусть пловец выходит на берег в точке М, находящейся на расстоянии ОМ = х от пристани. Достаточно рассмотреть изменение х в промежутке (0, b). Время t (в минутах), затрачиваемое на путь АМВ, равно:
Здесь а = 360, b = 420. Требуется найти наименьшее значение функции t в промежутке (0, b).
Имеем:
Решив уравнение:
найдём единственное значение переменной x:
Это значение лежит в рассматриваемом промежутке (0, b). Так как вторая производная:
в точке x=3/4a положительна, то в этой точке имеем минимум. Будучи единственным, этот минимум и даёт искомое наименьшее значение функции t:
