Категория: Алгебра

Труды Кантора в теории бесконечностей

Отрезок, квадрат и куб Докажем, что число точек, содержащихся на отрезке и в квадрате, одинаково. Кантор нашел неожиданное и очень простое доказательство этого утверждения, столь же гениальное, как и все остальные найденные им доказательства. Возьмем отрезок единичной длины, точки которого выражаются десятичными дробями вида 0,5783452199856400453..., то есть десятичными дробями, лежащими в интервале от нуля до

Трансфинитные числа

Но внезапно появляется новое множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем больше элементов, чем в описаных ранее трех множествах. Здесь Кантор задает один из самых революционных вопросов за всю историю математики: все ли бесконечности одинаковы, либо некоторые из них больше, а некоторые меньше? В качестве отправной точки он использовал бесконечное множество вещественных

Плотная бесконечность и дискретная бесконечность

Все ли бесконечности одинаковы? Прежде чем ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим природу различных бесконечных множеств. Покажем сначала существенное различие между, например, множеством натуральных и множеством рациональных чисел. Прежде всего определим, какие числа являются рациональными. На языке математики рациональными числами считаются числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель — целое число, а

Фундаментальная теорема

Мы уже убедились в том, что если числовая последовательность имеет предел, то элементы этой последовательности приближаются к нему максимально плотно. Даже на очень маленькой дистанции всегда можно найти два элемента, чья дистанция будет еще меньше. Это называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью Коши. Можем ли мы утверждать, что данная последовательность имеет предел? Если она формируется на

Несоизмеримость

Если мы возьмем квадрат со стороной, равной единице, то легко сможем просчитать его диагональ с помощью теоремы Пифагора: , то есть значение диагонали будет равно . Теперь у нас есть два числа, 1 и , представленные двумя отрезками. Однако у нас не получится установить соотношение между ними, как мы делали это раньше. Невозможно совершить унитарные

История иррациональных чисел

Иррациональные числа не подчиняются общепринятым правилам. Эта терминология унаследована из античности и содержит в себе фундаментальную идею, взорвавшую когда-то теорию пифагорейцев о совершенстве, так что остановимся подробнее на понятии иррационального числа и проанализируем его происхождение. Это вам не расширения файлов, которое, если что, то можно помотреть на сайте fileextension.ru. Даже, если не знаете такого расширения,

Непрерывность функции

Одно из наиболее важных свойств, характеризующих функцию, — непрерывность. Ее определение требует хорошего знания понятия функционального предела, а потому мы не будем приводить его здесь. Но для практических целей достаточно определить непрерывность следующим образом: «Говорят, что функция непрерывна в том случае, если вы можете прочертить ее без отрыва карандаша от бумаги». Все функции, которые мы

Вогнутость и выпуклость функции, касательная

Рассмотрим другие характеристики функций — вогнутость и выпуклость. Речь снова идет об интуитивном понятии, ведь все знают, когда поверхность вогнута, а когда выпукла. Если на столе мы видим предмет, способный вместить в себя жидкость, мы говорим, что он вогнутый (как, например, миска). Этот же предмет, если его перевернуть и снова положить на стол, продемонстрирует нам