Математика, решение онлайн!!!

Архив рубрики «Дифференциальные уравнения»

В XVII веке сильно возрос интерес к задачам на отыскание максимальных и минимальных значений вообще (связанным с задачей о проведении касательной к данной кривой). Попытки решения этого рода задач при помощи незадолго до того оформившейся алгебры и созданной в ту же эпоху аналитической геометрии привели к понятию производной, к созданию дифференциального исчисления (Лейбницем и, в иной по внешности форме, Ньютоном), которое выработало определенные приемы решения множества экстремальных задач, очень быстро и легко приводящие к цели.

Несколько позже для решения более сложных задач, в которых искомыми являются кривые или поверхности, обладающие определенными экстремальными свойствами, были придуманы новые приемы, пользовавшиеся интегральным исчислением, что привело к созданию во второй половине XVIII столетия специальной дисциплины для решения такого рода вопросов, так называемого «вариационного исчисления» (Эйлер и Лагранж).

К эпохе создания дифференциального исчисления относится также появление одной из изящнейших задач теории изопериметров — так называемой «проблемы шарнирного многоугольника», в которой из данных по величине (и порядку) отрезков (сторон) требуется составить многоугольник с наибольшей площадью, меняя по произволу углы между смежными сторонами (которые можно мыслить или реализовать в виде стержней, скрепленных шарнирами в вершинах многоугольника). Эту задачу впервые решил женевский математик Крамер (Gabriel Cramer, 1704—1752), поэтому ее часто называют «задачей Крамера».
Прочитать остальную часть записи »

Сегодня рассмотрим основные понятия дифуров: определение, общий, основные составляющие и методы их решения.

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, которое содержит производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.

В тех случаях, когда неизвестные функции зависят только от одного аргумента, то оно называется обыкновенным, ну а если от нескольких, то уравнение будет называться дифференциальным уравнением с частными производными (ДУЧП). Здесь пока что рассматриваются только обыкновенные.

Общий вид дифура с одной неизвестной функцией таков:
Φ(х,у,у',у",...,у⁽ⁿ⁾) = 0.

А его порядком называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение. То есть в выше указанно виде мы имеем ДУ n-го порядка.

Примеры. Уравнение у' = y²/x есть ДУ первого порядка; а уже у" + у = 0 — второго порядка, ну а y'² = х³ — так же первого.

Функция у = φ(х) называется решением ДУ, если последнее обращается в тождество после подстановки у = φ(х).

Основной задачей теории дифуров является нахождение всех решений данного ДУ, а их всегда много, так как они могут отличаться минимум на какую-то константу. В простых случаях эта задача сводится к нахождению интеграла. Поэтому его решение еще могут называть его интегралом, а процесс нахождения всех этих решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Прочитать остальную часть записи »

Я уже давал, небольшую инструкцию по решению неоднородных дифференциальных уравнений и также текстовый пример. Но для любителей видео я решил добавить и видео пример. Хотя большинство предпочитает текстовые, но я думаю, что видео – это более понятно и эффективнее.

Даже те, кто уже смотрели текстовый пример, я рекомендовал бы посмотреть и видео (в любом случае вы получите, только дополнительные знания, которые в дальнейшем вам очень помогут):

• Во-первых, там рассмотренные разные упражнения, по одной теме, то есть суть одна, но сам ход решения немножко отличается, что в дальнейшем даст вам возможность расширить количество решаемых упражнений. Вот основные отличия:
  1. В этом упражнении нет экспоненты;
  2. Также тригонометрическая функция задана не так, как надо, для продолжения решения её надо преобразовать;
  3. Больше неизвестных, чем в текстовом;
• Во-вторых, в видео у меня ещё была возможность немножко остановиться и на решении однородного ДР, а именно, написании ответа после нахождения корней характеристического уравнения;
• В-третьих, это же видео формат, здесь все более наглядно и понятно, есть возможность рассказать о каждой детали. А если что-то более сложное, то можно основные шаги дорисовать схематически.

Прочитать остальную часть записи »

После того, как я добавил онлайн программки для решения линейных однородных дифференциальных уравнения второй и третьей степени, то меня часто спрашивали, как же решить, точно такое же, но если после знака равности стоит функция, а не ноль. И сегодня я решил опубликовать ответ.

И этот ответ я опубликовал в виде текстового примера конкретного неоднородного дифференциального уравнения и некоторых правил, что приведу ниже.

Значит так, когда у вас есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение, что бы его решить вам надо:

1. Сначала решить точно такое же, но однородное, то есть после знака равности поставить ноль, его вы можете решить и онлайн здесь.
2. Потом смотрите на ту функцию, что стоит после знака равности, если там несколько слагаемых, то смотрим, нет среди них
   • Экспонента $e^{tx}$ ( тригонометрическая функция $cos(nx)$ ), далее смотрим, умножается она на многочлен или на тригонометрическую функцию
     • Если на многочлен, то смотрим, не будет ли $t$ ( $ni$ ) корнем характеристического уравнения:
       • Если будет кратности $k$, то нам надо будет его умножить на $x^k$ и на общий вид многочлена;
       • Если не будет, то просто записываем $e^{tx}$ и на общий вид многочлена;
     • Если на тригонометрическую функцию, то надо её преобразовать к косинусу, или синусу, или их сумму, но обязательно не должно быть степеней и должны быть одинаковые аргументы и если там $cos(nx)$, то смотрим не будет ли тригонометрическое число $t+ni$ ( $ni$ ) корнем нашего характеристического уравнение:
       • Если да и кратности $k$, то опять надо помножить на $x^k$;
       • А если нет, то записать общий тригонометрический вид комплексного числа;
   • Просто многочлен, то смотрим, нет ли среди корней характеристического уравнения ноля
     • Если есть кратности $k$, то надо умножить общий вид этого многочлена на $x^k$;
     • Если нет, тогда просто записываем общий вид многочлена.
3. Потом записываем эту функцию в общем виде, сложив все слагаемые, ищём нужные производные, что нам надо для начального уравнения и подставляем их туда.
4. Вычисляем все неизвестные, приравнивая коэффициенты при разных функциях;
5. Записываем общее решение.

Прочитать остальную часть записи »

«Как это сделать?», - спросите вы! Да очень просто!
Добавлены новые онлайн программки, которые решают линейные однородные дифференциальные уравнения второго и третьего порядка с постоянными коэффициентами.

Так что если вас надо решить любое с этих уравнений, вы просто заходите на решение онлайн, выбираете ту программку, которая вам подходит, открываете её, вписываете соответствующие коэффициенты и нажимаете кнопку «Решить» и через несколько секунд перед вами решение этой задачи.

Конечно, может оно слегка не полное. Но вы точно узнаете корни уравнения, что на много сэкономит ваше время, которое вы б затратили на их поиски. Потом, вы также узнаете безошибочный ответ, а если бы вы на практике решили проверить ваш ответ, то вам пришлось бы несколько раз дифференцировать вашу функцию. А также, если что-то не так, то вы можете легко узнать, где у вас ошибка, сравнив ваш ответ с ответом на сайте.

Так что заходим и пользуемся!

Также хотел добавить, что эти программки могут помочь вам и при решении линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка. Но при этом вам надо разбить характеристическое уравнение на многочлены второго и третьего порядка, это вам поможет найти фундаментальную систему решений, прямо на сайте (при этом учитывайте, что в разных уравнениях могут быть одинаковые корни). А общее решение придется записать уже самому.

И ещё, эти онлайн программки также немного вам помогут и при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Но в этом случае, ещё много придется доработать самому.

Так что пользуйтесь и делайте свою жизнь проще!