Математика, решение онлайн!!!

Архив рубрики «Геометрия»

Теоремы о призмах и цилиндрах показывают, что вертикальные сооружения выгоднее в смысле получения большей кубатуры здания при данных основании (фундаменте) и квадратуре поверхности стен или же в смысле меньшей затраты строительных материалов на возведение стен при данном основании и данной кубатуре (т. е. в данном случае при данной высоте) здания, чем сооружения наклонные, так что здесь экономичность или эффективность сооружения совпадает с его стойкостью и с легкостью его постройки. Поэтому ясно, что такие здания, как знаменитая наклонная башня в Пизе или две еще более наклонные башни в Болонье. Не имеют практического значения, представляя собой только архитектурный курьез.

При данной площади основания правильные многоугольные основания выгоднее (в смысле меньшей площади стен при данной кубатуре здания или большей кубатуры при одинаковой квадратуре стен), чем неправильные многоугольные основания с тем же числом сторон; что квадратные башни вместительнее, чем треугольные, при одинаковой квадратуре основания и стен, что правильные пятиугольные основания выгоднее в этом смысле квадратных; правильные шестиугольные еще выгоднее и т. д., выгоднее всего — форма круглой цилиндрической башни.

Одно время некоторыми архитекторами горячо пропагандировалась идея таких круглых домов. Помимо экономии в строительном материале, цилиндрическая форма имеет еще и другие крупные преимущества перед призматической. Меньшая поверхность наружных стен означает меньшую потерю зданием тепла зимой, меньшую нагреваемость его летом. Отсутствие углов избавляет от хлопот с отсырением и промерзанием последних. Радиальное расположение комнат сокращает пере ходы из одной комнаты в другую, что особенно ценно при больших зданиях учреждений или гостиниц с их длинными коридорами. Упрощается также проблема отопления, проводки водопровода, осветительной сети, газа. Например, гостиница Дуки д'Аоста в Сестриере (Италия), диаметром 25 м и высотой 47 м, с 15-ю спиралями внутри.

Но самой идеальной (в смысле экономии материала, потребного на возведение наружных стен) формой является не цилиндрическая, а шаровая. Такая форма домов, особенно при больших их размерах, обладает всеми преимуществами цилиндрической формы в еще большей степени, и к ним присоединяются еще новые преимущества, специфически свойственные сферической форме зданий. Сюда относится отсутствие крыши в обычном смысле слова, так как сама наружная оболочка дома, служащая стеной, является завершением здания сверху.
Прочитать остальную часть записи »

Физика дает нам иллюстрации теорем не только двумерной, но и трехмерной изопериметрии. Всем известен знаменитый опыт французского физика Плато: более или менее значительное количество растительного масла, помещенное в водный раствор спирта такого же удельного веса, принимает в нем точную сферическую форму, при которой поверхность масляной массы при постоянстве ее объема получает наименьшую площадь. Впрочем, здесь присоединяется еще и требование равенства давлений во всех точках поверхности, а эти давления обусловливаются величиной кривизны поверхности в данной точке.

Мыльный пузырь тоже имеет форму шара, т. е. имеет наименьшую поверхность при данном объеме заключенного внутри воздуха. Описание соответствующих опытов можно найти в книжечке: Бойс, Мыльные пузыри, Научное книгоиздательство, Ленинград, 1922. Если же коснуться его двумя смоченными параллельными проволочными кольцами и затем несколько раздвинуть последние, то мыльная пленка принимает красивую форму так называемой поверхности катеноида — поверхности, получаемой от вращения цепной линии (имеющей форму свободно висящей нити, закрепленной в двух точках) вокруг прямой, лежащей в ее плоскости. В вариационном исчислении доказывают, что катеноид представляет минимальную поверхность, опирающуюся на данные две окружности. Природа в один миг решает эту сложную математическую задачу: при какой форме поверхность, соединяющая два параллельных кольца с центрами на прямой, перпендикулярной к их плоскостям, имеет наименьшую площадь?

Погружая в мыльный раствор проволочные каркасы различной формы и осторожно извлекая их из него, получаем прекрасные фигуры, у которых физики подметили ряд удивительных закономерностей, касающихся числа ребер, сходящихся в одной точке, и т. д. Все эти законы связаны с тем, что получаемые формы представляют решения соответствующих задач: натянуть на каркас данной формы мыльную пленку (или, выражаясь геометрически, поверхность), имеющую возможно меньшую площадь.

От этих физических иллюстраций перейдем к техническим приложениям теорем пространственной изопериметрии уже в следующей статье.

Изопериметрическая задача в узком смысле слова заключается в том, что среди данной совокупности фигур, имеющих одинаковую длину контура — одинаковый периметр (такие фигуры и называются изопериметрическими фигурами или тзопериметрами), — требуется найти ту, площадь которой больше площадей всех прочих фигур рассматриваемой совокупности (но не всех вообще фигур с таким же периметром). Если данная совокупность состоит из всех решительно треугольников с данным периметром, то наибольшая площадь принадлежит равностороннему треугольнику, как будет доказано в свое время. Среди всех равнообводных прямоугольников наибольшей площадью обладает квадрат. А среди всех вообще плоских фигур с одинаковым периметром максимальной площадью обладает круг того же периметра.

В более широком смысле «изопериметрическими» называют также задачи о нахождении среди данной совокупности тел, ограниченных поверхностями данной величины, того тела, которое заключает наибольший объем (такие тела с одинаковыми по величине поверхностями называют «изоэпифанными»); задачи о наибольших сферических (начерченных на поверхности шара) фигурах с данным по длине контуром, задачи о наибольших плоских фигурах, часть контура которых задана по форме, а не по длине (например, в виде прямолинейного отрезка любой длины), и, наконец, задачи в известном смысле обратные (взаимные) по отношению к названным выше задачам: в них все сравниваемые фигуры имеют одинаковую площадь и требуется найти среди них ту, у которой периметр имеет наименьший размер. В таком же смысле слова обратной является задача — среди данной совокупности тел, имеющих одинаковый объем, найти то, у которого величина поверхности — наименьшая.
Прочитать остальную часть записи »

Вопросы о наибольших и наименьших величинах, являются одними из наиболее интересных в чисто математическом отношении (по разнообразию и по остроумию придуманных математиками методов их решения) и в то же время крайне важными по своему практическому, прикладному значению.

Архитектор, проектируя какое-либо здание, стремится затратить на его возведение минимум времени, строительных материалов и рабочей силы и достичь при этом максимальной прочности, освещенности, простора, теплоизоляции и т. д.

Пчела, взявшая каплю меда с цветка, летит к своему улью по прямой, сокращая этим до минимума затрату времени и сил и получая возможность совершить максимум рейсов за день, т. е. собрать максимальное количество меда. А в улье она выстилает соты таким образом, что в данном объеме (улья) умещается максимальное количество ячеек.

Даже в растительном царстве и в так называемой «мертвой» природе мы наблюдаем процессы, способные внушить дикарю идею одушевленности природы. Так, растение пускает в сухой почве свои корни вертикально вниз, «чтобы» как можно скорее достичь влажного слоя, а подсолнух поворачивается своей головкой к солнцу, «чтобы» получать максимум солнечной энергии. Луч света отражается от зеркала, а бильярдный шар — от борта бильярда по такому закону, который обеспечивает минимум пути между любой точкой падающего и любой точкой отраженного луча или траектории шара.

Пространственные формы, как, например, траектории движений, формы оболочек ит. д., играют наряду со временем, скоростью, массой, работой, энергией и т. д. большую роль во многих проблемах максимально-минимального или, как говорят математики, экстремального (т. е. «крайнего») характера. Часть этих экстремальных вопросов носит чисто геометрический характер, а среди них на первом месте встречаем проблемы изопериметрические или «равно обводные», как писали по-русски еще в середине прошлого столетия. Более подробно о них мы разберем в статье о сути изопериметрических задач.

Вместо двух осей нарисуем одну — луч, выходящий из начала координат, точки О. Каждая точка плоскости лежит на каком-то луче. Ее расстояние до начала координат будет первой координатой; обозначим ее буквой ρ. Второй же будет угол, на который надо повернуть нашу ось, чтобы совместить ее с лучом, на котором находится нужная точка; угол этот обозначим буквой. Такая система координат называется полярной; начало луча — точку О — называют полюсом, сам луч — полярной осью. Коренное отличие от декартовой системы бросается в глаза: одна и та же точка может иметь много угловых координат, отличающихся на 2к :
Φ = Φ + 271 = φ + 471 = φ + 2nk, где k —любое целое число. Это неудобно; поэтому часто считают, что 0 < φ < 2π.

Зато в этих координатах уравнение нашей окружности — проще некуда: ρ = R. Теперь мы можем нарисовать полярную координатную сеть, состоящую из линий постоянного радиуса и постоянного угла. Многие кривые, на первый взгляд сложно устроенные, после перехода к полярным координатам оказываются очень простыми. Например, спираль, задается в полярных координатах уравнением ρ = ρ₀ e^kφ как к ней подступиться, находясь в декартовой системе, что-то непонятно...

В пространстве тоже можно построить декартову систему координат, добавив к прямоугольным координатам плоскости перпендикулярную ось аппликат. Вслед за Декартом соответствующую координату точки обозначают буквой z. В трехмерном пространстве, исчисленном этими координатами, легко поддаются изучению геометрические тела довольно причудливых форм, сложность которых столь же обманчива, сколь сложность эллипса.
Прочитать остальную часть записи »

Люди Древнего мира путешествовали довольно далеко, и, конечно, им не приходилось рисовать карты и отмечать на них расположение гор и рек, городов и стран, удобные дороги и опасные места... Но, пользуясь готовой картой, трудно найти на ней город, если знаешь только его название. Поэтому все путешественники должны быть вечно благодарны древнегреческому ученому Гиппарху, около 100 года до н. э. предложившему нарисовать на географической карте параллели и меридианы и обозначить числами широту и долготу.

Долгое время лишь география — «землеописание» — пользовалась этим замечательным изобретением, и только в XIV веке французский математик Никола Оресм попытался приложить его к «землеизмерению» — геометрии. Он нарисовал на плоскости сетку из прямых линий, пересекающихся под прямыми углами, и стал задавать местоположение точек широтой и долготой.

Идея оказалась чрезвычайно плодотворной. Первым, кто по достоинству оценил новшество и обнаружил, какие обширные горизонты оно открывает перед наукой, был великий француз Рене Декарт. Его имя носит теперь прямоугольная система координат, обозначающая место любой точки плоскости расстояниями от этой точки до «нулевой широты» — оси абсцисс и «нулевого меридиана» — оси ординат. По традиции, введенной Декартом, «широта» точки обозначается буквой х, «долгота» — буквой y. Чем же так замечательна декартова система координат?

До ее появления не существовало единого подхода к решению геометрических задач. В огромном количестве их каждый раз приходилось заново придумывать способ решения. Обозначив точки плоскости парами чисел x и y, оказалось возможным изучать связь между координатами различных точек, записывая уравнения и решая их. А уравнения многих очень сложных объектов оказались неожиданно простыми. Вот пример. Великий древнегреческий геометр Аполлоний проделал титанический труд, изучая форму кривых, получающихся при разрезании конуса плоскостью. Эти кривые — эллипс, гипербола и парабола — были долгое время одними из самых сложных объектов, известных геометрам. Но в декартовых координатах они задаются уравнениями, содержащими лишь первые и вторые степени координат. Выходит, это лишь следующий уровень сложности после прямых линий, в уравнении которых координаты входят только в первой степени...
Прочитать остальную часть записи »