Категория: Геометрия

Сферические треугольники

Мир, в котором мы живем, имеет форму сферы, и то же самое можно сказать о небесном своде. Если мы попытаемся нарисовать на сферической поверхности знакомые геометрические фигуры, они претерпят заметные изменения. Если бы двухмерное существо, живущее на сферической поверхности, решило нарисовать треугольник, то должно было бы начать с прямых. И для него, как для обитателя

Координатная геометрия

Как мы увидели, представление точек и прямых посредством системы координат позволяет рассматривать геометрические задачи как алгебраические. Графическое представление этих фигур на плоскости в некоторых случаях может помочь лучше понять или почувствовать определенные решения, но оно абсолютно не нужно для аналитического решения задачи, которое можно найти полностью «вслепую». Например, найти пересечение линий 2x-3y=1, x+y=0 означает найти

Декартовы уравнения

Уравнением называют выражение, состоящее из двух частей, которые разделены знаком «равно» таким образом, что в каждой части фигурируют алгебраические комбинации из чисел и букв. Таким образом, выражение y=2, несмотря на свою простоту, является уравнением. В декартовой плоскости множество точек, чьи координаты удовлетворяют этому уравнению, образуют прямую, параллельную оси Y, которая проходит через точку (0, 2).

Расстояния и теорема Пифагора

Договорившись о системе координат, можно определить расстояние между двумя точками. В одномерном пространстве расстояние между двумя точками — это длина соединяющего их отрезка. Рассмотрим точки P и Q. Расстояние между ними, которое мы обозначим как d (Р, Q), будет вычисляться как абсолютная величина разности: d (Р, Q)=|P-Q|. Мы помним, что абсолютная величина числа равна положительному

Пространственные координаты

Таким же образом, как была определена система координат на плоскости, можно определить систему координат и в пространстве. Единственное, что мы должны для этого сделать, это провести третью ось, которую назовем ось Z («ось зет»). Она будет перпендикулярна плоскости, образованной двумя другими осями. Третья координата нашей точки — z — будет соответствующей высотой по данной оси.

Декартова система координат

Давайте посмотрим шаг за шагом, как строится аналитическая геометрия. Для начала нам необходимо обозначить так называемую числовую ось, то есть прямую, каждая из точек которой представлена действительным числом. Отметим на ней начало отсчета и поместим в него цифру 0. Справа от этой точки будут положительные числа, а слева — отрицательные. Любой отрезок этой прямой определяется

Координаты в повседневной жизни

Для древних греков геометрия была неотделима от фигур. Решение задачи с плоскостями, прямыми или более сложными фигурами всегда сопровождалось чертежами. С помощью аналитической геометрии эти задачи можно решать «вслепую». Геометрические фигуры состоят из точек. Соотнесение этих точек с числами позволяет превращать геометрические задачи в алгебраические. Это достигается путем определения одно-, двух- или трехмерной системы координат

В поисках симметрии

В игре в шахматы белые всегда начинают. Задумывались ли вы когда-либо, что случится, если, играя черными, повторять каждый ход белых, то есть сохранять симметричное расположение фигур? Результат такой стратегии, как правило, не очень хорош, так как инициатива всегда на стороне белых. В анналах истории шахмат, безусловно, есть сведения о полностью симметричном поединке, который длился 16