Математика, решение онлайн!!!

Архив рубрики «Интересно»

В «Трактате об отношениях или об отношениях скоростей при движениях» (Tractatus proportionum seu de proportionibus velocitatum in notibus, 1328) наибольший интерес представляет попытка Брадвардина математически выразить зависимость между скоростью v, движущей силой F и сопротивлением R. Английский ученый подвергает критике положение перипатетиков, согласно которому, говоря по-современному, скорость пропорциональна отношению движущей силы к сопротивлению. Мы оставим в стороне остроумные доводы, отчасти предвосхищающие позднейшую аргументацию Галилея, как и то обстоятельство, что сами понятия скорости и силы оставались весьма неясными. Существенно, что Брадвардин приходит к новому закону скорости, по-своему толкуя текст Аристотеля. По Аристотелю, при удвоении, утроении и т.д. отношения F/R соответственно удвоится, утроится и т. д. скорость. Брадвардин считает, что здесь должно иметь место образование составного — двойного, тройного и т. д. — отношения, другими словами, что
F/R=n^v
Прочитать остальную часть записи »

Итак, судя с данных таблицы, полученных в предыдущей статье, будем иметь последовательность пар чисел: (0, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), (8, 13), (9, 15), (11, 18), (12, 20), (14, 23), (16, 26), ... Закономерность никак не просматривается, и никаких идей не приходит в голову.

Оказывается, что распределение чисел в парах связано с загадочными числами Фибоначчи, о которых я уже рассказывал. Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., каждое из которых равно сумме двух предыдущих.

Мы знаем о десятичной и двоичной системах счисления и можем представить систему счисления с любым другим основанием, а теперь давайте познакомимся с фибоначчиевой системой счисления. Всякое натуральное число π можно представить в виде суммы чисел Фибоначчи. Сначала возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее π, и вычтем его из π. Потом возьмем наибольшее число Фибоначчи, не превосходящее этой разности, и вычтем его из этой разности, повторим такую процедуру с новой разностью и т. д. Например, 17 = 13 + 3 + 1.
Прочитать остальную часть записи »

Эта игра пришла к нам из Китая. Для нее не нужно доски, фигур или других приспособлений. Достаточно набрать немного камешков и разложить их в две кучки. Теперь двое играющих по очереди берут камешки из этих кучек. Разрешается взять за один ход любое количество камешков из одной кучки или из двух кучек, но поровну. Выигрывает тот, кто своим ходом забирает все оставшиеся камни.

Несмотря на простоту условий этой игры, указать, кто выигрывает при конкретном наборе камешков, и найти выигрывающую стратегию в этой игре довольно сложно. Но попытаемся это сделать. Если в одной из кучек вообще нет камней, то, очевидно, выигрывает начинающий — он забирает всю вторую кучу камней. То же самое происходит, если в кучах одинаковое количество камней.

Результаты анализа ситуаций в игре мы будем заносить в таблицу. Набору камешков, скажем, 6 в первой кучке и 8 во второй в таблице соответствует клетка, стоящая на пересечении строки с цифрой 6 и столбца с цифрой 8. Если при некотором наборе камешков выигрывает тот, кто должен ходить, то мы ставим в этой клетке плюс, а если его партнер, то — минус.

Каждую клетку будем обозначать соответствующей парой чисел. Например, упомянутую клетку будем обозначать (8, 6). В клетке (0, 0), очевидно, следует поставить минус, а в клетках (k, 0), (0, k) и (k, k) для всех k, больших нуля, следует поставить плюс. Таблица начала заполняться.

Рассмотрим клетки (1, 2) и (2, 1). Любой ход из этих наборов ведет в клетку, уже помеченную знаком плюс, поэтому в этих клетках следует поставить минус, а знаком плюс нужно пометить все клетки, из которых за один ход можно попасть в клетку (1, 2) или (2, 1). Прочитать остальную часть записи »

В предыдущей статье мы уже узнали способ решения арифметических ребусов, а сегодня рассмотрим другой их вид, для Я^С = СЕМЬЯ подход к решению совсем другой. Посмотрим, какое наименьшее значение для нашей С возможно. Уже понято, что для того чтобы получилось пятизначное число при наименьшем С, цифра Я должна быть наибольшей, т. е. Я = 9. Но при этом видим, что 9 нужно возвести в пятую степень; получаем 59 049. Казалось бы, мы уже получили то загадочное число, что мы искали, поскольку оно начинается с той же цифры, что и наша степень, то есть: 9. Однако в первом и четвертом разрядах этого числа стоят одинаковые цифры, а в данном слове СЕМЬЯ на указанных местах стоят разные буквы. Соответственно делаем вывод, что этот вариант не проходит, и нужно продолжать перебор вариантов. Кстати, такой перебор нужно было делать и в том случае, если бы мы получили верное решение, потому что решить задачу — значит найти все ее решения.

Теперь на единичку опустимся и испробуем в качестве Я число 8, при этом перебор по С можно начинать с числа 5, так как мы знаем, что даже для большего основания нам понабилось ее перемножать, аж пять раз, а тут мы его еще и понизили. Число 8⁵ = 32 678, а шестая степень восьмерки уже шестизначное число. Пусть Я = 7, тогда его следует возводить в степени, начиная с шестой. 7⁶ = 117 649 —уже шестизначное число, а 7⁵ = 16 807. Пусть Я = 6, тогда С не равняется 6 и нужно испробовать 6⁷ = 279 936. Попытка оказалась неудачной. Возьмем Я = 5. 5⁶ = 15 625, а 5⁷ = 78 125. Эта попытка оказалась удачной. Следующие степени числа 5, очевидно, не годятся. Возьмем Я = 4. 4⁷ = 16 384, 4⁸ = 65 536 и получаем, что в этом случае нет решений. Для Я = 3 мы имеем 3⁹ = 19 683. Теперь уже очевидно, что найденное нами решение 5⁷ = 78 125 является единственным. Вот таким методом, может медленно, но зато уверено решаем все подобные упражнения!
Прочитать остальную часть записи »

Разгадывание шифров нашло свое воплощение в одном из видов математических головоломок — арифметических ребусах. В этих задачах требуется заменить буквы цифрами так, чтобы получаемое равенство оказывалось верным. При этом одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, разным — разные. Таким образом, это дешифровка наоборот.

Рассмотрим решение одной из таких головоломок.
КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.
Сначала обратим внимание на букву А. Из условия следует, что цифра, скрывающаяся под буквой А, вновь оканчивается на А, если ее утроить. Таким свойством обладают лишь две цифры: 0 и 5.

Теперь обратимся к букве Н. Из рассмотрения первой цифры суммы заключаем, что Н больше трех, значит, нам надо перебрать шесть значений для Н от 3 до 9. При этом обратим внимание на сложение в четвертом разряде. Сумма трех Н и, может быть, еще одной или двух единиц, переходящих из предыдущего разряда, должна равняться либо нулю, либо пяти.

• Если Н = 3, то А = 0 и единица переходит в пятый разряд, и мы получаем в пятом разряде суммы число, большее трех.
• Если Н = 4, то 3*Н = 12, и, даже добавляя одну или две единички, мы не получим в четвертом разряде суммы ни 0, ни 5.
• Если Н = 5, то А не равняется 5, а равняется 0, а в этом случае мы не сможем получить в четвертом разряде суммы 0.
• Если Н = 6, то А = 0, в пятый разряд переходит 2, поэтому 2 + 3*К = 6, что невозможно при целом К.
• Если Н = 7, то 3*Н = 21 и мы не сможем получить в четвертом разряде суммы ни 0, ни 5.

Прочитать остальную часть записи »

Эта красивая игрушка в конце 70-х годов нашего века вызвала всеобщий ажиотаж. И она заслуживала этого. Действительно, привести кубик Рубика в исходное состояние после того, как его «запутали», для очень многих обладателей этой игрушки было непосильным делом. Изобрел этот кубик в 1975 году преподаватель архитектуры из Будапешта Эрне Рубик, который хотел с его помощью развивать пространственное мышление у своих студентов.

Трудность сборки кубика объясняется не только огромным количеством различных положений, в которых он может находиться, но и тем, что при осуществлении очередного продвижения приходится временно разрушать уже установленную правильную структуру. Некоторые изготовители кубика прикладывали в комплект к нему пластмассовый топорик, чтобы вконец раздосадованный владелец мог отвести душу, разломав игрушку после долгих и безрезультатных попыток собрать головоломку.

В настоящее время о кубике известно почти все. Из любого положения его можно привести в исходное за 23 поворота, имеется компьютерная программа, которая переводит кубик из любого положения в исходное за 21 поворот. При этом используются различные комбинации поворотов, дающие те или иные промежуточные результаты.

Мы предлагаем вам алгоритм сборки, в котором участвует лишь одна такая комбинация. Сначала договоримся об обозначениях. Поставим кубик углом к себе. Вращение верхней грани кубика по часовой стрелке будем обозначать буквой В, а против часовой стрелки — буквой V. Вращение левой грани по часовой стрелке будем обозначать буквой Л, а против — буквой L. Вращение правой грани аналогично будем обозначать буквами П и Р. Рассмотрим следующую комбинацию поворотов Ф = ПBЛVLPЛ, т. е. сначала поворачиваем по часовой стрелке правую грань, потом снова по часовой стрелке верхнюю и т. д. Рассмотрим также обратную комбинацию, т. е. такую, которая возвращает кубик в исходное положение после комбинации Ф. Это, как нетрудно понять, будет комбинация F = LПЛBLVP. Действие операции Ф: все кубики на ребрах, кроме трех, переходят в прежние положения, передний кубик на ребре поворачивается, а два других кубика на левой грани меняются местами. Если операцию Ф проделать два раза подряд, то все кубики на ребрах останутся на своих местах, лишь те два кубика, которые при комбинации Ф менялись местами, повернутся.
Прочитать остальную часть записи »