Математика, решение онлайн!!!

Архив рубрики «Исторические факты»

Заслуживающие внимания результаты (в теории континуума) были получены выдающимся английским мыслителем, магистром Томасом Брадвардином (ок. 1290—1349), который учился и преподавал в Оксфордском университете, а под конец жизни стал архиепископом Кентерберийским. Брадвардину принадлежат три сочинения по математике и одно по механике. Наименьший интерес представляет «Теоретическая арифметика» (Arithmetica speculative) — сокращение арифметики Боэция. Более оригинальна «Теоретическая геометрия» (Geometria speculative), состоявшая из четырех отделов, каждый из которых открывался соответствующими определениями.

В первом отделе рассматриваются звездчатые многоугольники, получаемые из правильных выпуклых многоугольников (начиная с пятиугольника) путем продолжения их сторон до пересечения. Из этих звездчатых многоугольников первого порядка (начиная с семиугольника) Брадвардин образует звездчатые многоугольники второго порядка и т.д., всякий раз увеличивая число вершин на две. Брадвардин установил, что сумма острых углов звездчатого пятиугольника равна двум прямым и увеличивается каждый раз на две прямых с каждой новой вершиной. Исследование звездчатых многоугольников представляют собой самостоятельный вклад Брадвардина в науку. Сумма углов звездчатого пятиугольника была найдена несколько ранее Джованни Кампано в комментариях к его переводу «Начал» Евклида.

Во втором отделе «Теоретической геометрии» Брадвардин занимается изопериметрическими свойствами многоугольников, круга и шара, следуя основанному на труде Зенодора анонимному латинскому переводу с арабского. Третий отдел посвящен учению о пропорциях. Здесь говорится об иррациональности √2 как отношения диагонали квадрата к его стороне, упоминается «Измерение круга» Архимеда как сочинение, изобилующее трудными и сложными местами, — из него приводятся теоремы о равенстве круге прямоугольному треугольнику со сторонами, равными полуокружности и полудиаметру, а также приближение π ≈ 22/7. В четвертом отделе речь идет о существовании только пяти правильных многогранников и рассматривается, со ссылкой на Аверроэса, вопрос о заполнении пространства теми или иными правильными телами. Аверроэс неправильно полагал, что такое заполнение возможно не только с помощью кубов, но и с помощью других тел. Некоторые предложения о кругах на сфере примыкают к Феодосию. Прочитать остальную часть записи »

Оба мыслителя, как Гроссетест так и Бекон, высоко ценили математику, как главное пособие физики. Предвосхищая Галилея, Гроссетест писал: «Все принципы природных действий должны, быть даны посредством линий, углов и фигур» Ч. Бекон в IV части «Главного труда», носящей характерное заглавие «О пользе математики», восхваляет эту науку, называя ее вратами и ключом к другим наукам. Из трудов Бекона видно, что он был знаком с «Началами» и «Оптикой» Евклида, «Оптикой» и «Алмагестом» Птолемея, рядом результатов Архимеда, Аполлония, Зенодора и т. д.

Дело не ограничивалось декларациями. Бекону принадлежит, например, правило, выражающее степень интенсивности смеси двух количеств с разными интенсивностями, формально совпадающее с калориметрической формулой, вновь найденной и экспериментально проверенной в XVIII в. Г. В. Рихманом. Более сложные вопросы математики находили применение в оптике, основывавшейся на переводе знаменитого труда Ибн-ал Хайсама. Это особенно хорошо видно из «Оптики» (Optica) польского ученого Витело (ок. 1225 — ок. 1280), который обучался около 1250 г. в Париже и был другом упоминавшегося ранее переводчика Виллема из Мербеке.

Внимание к учению о бесконечном и континууме привлекали проблемы атомистики, которой отведено такое важное место в сочинениях Аристотеля и на которую опирался в своей оптике Ибн ал-Хайсам. И здесь одним из зачинателей в средневековой Европе был Гроссетест, сам стоявший на позициях математического атомизма. У него мы встречаем по крайней мере постановку вопроса о сравнении различных бесконечностей вроде сумм некоторых простейших (расходящихся) рядов.
Прочитать остальную часть записи »

На протяжении XIII и XIV вв. в английских и французских университетах видное место заняла разработка вопросов физики, причем отправным пунктом служили натурфилософские сочинения Аристотеля и его последователей на арабском Востоке. Особенное внимание привлекали механика, с одной стороны, и некоторые свойства тепловых, оптических и иных явлений — с другой.

Одним из пионеров этого движения был английский философ и ученый Роберт Гроссетест (ок. 1175—1253) (grosseteste — большеголовый), епископ Линкольнский. Роберт получил образование в Оксфорде и, быть может, в Париже, а затем был лектором и первым канцлером Оксфордского университета. Другим, еще более прославленным лидером явился ученик Гроссетеста Роджер Бекон (ок. 1214—1294), воспитывавшийся в Оксфорде и Париже и преподававший в обоих университетах. Оба они обладали огромной эрудицией, почерпнутой главным образом из сочинений греческих и арабских авторов, и были знатоками Аристотеля. Деятельность Гроссетеста и Бекона обняла всю совокупность знаний. Они писали по астрономии, по оптике, бывшей тогда важнейшей из физических наук, о календаре, подчеркивая необходимость его реформы, которая, впрочем, была произведена гораздо позднее. «Главный труд» (Opus majus) (1266—1267) Бекона представлял собой вместе с двумя приложениями подлинную энциклопедию наук XIII в., включая географию, алхимию и т. д.

Мировоззрение Гроссетеста и Бекона было ограничено, ибо они подчиняли философию догматам религии, но они смело вносили новый дух более свободного исследования, более критического отношения к признанным тогда авторитетам натурфилософии. Бекон под конец жизни поплатился за это, как и за смелое обличение испорченных нравов духовенства и высших сословий, многолетним тюремным заключением. Гроссетест и с еще большей силой Бекон отстаивали ту новую для их времени мысль, что познание физического мира должно основываться на наблюдении и опыте, а не на текстах, одобренных церковью. Что и привело к развитию науки и особенно математики, как именно это произошло, вы узнаете в следующей статье.

В первых университетах математике обучали в объеме квадривиума на факультете искусства, а некоторые более тонкие вопросы излагались в курсах философии, особенно после укрепления в конце XIII в. аристотелизма. Впоследствии в курс математического образования включают изложение одной или двух первых книг «Начал», введение в сферическую астрономию, затем лекции по началам оптики, теории движения планет, теории пропорций, учение о широте форм (о котором будет сказано далее). Но в течение нескольких столетий математика оставалась только вспомогательной дисциплиной и отдельных кафедр, да и особых преподавателей математики не было. По-видимому, первым специализировался на преподавании одних математических наук магистр Венского университета Иоганн из Гмундена (ок. 1380—1442). С 1412 г. он читал в Вене лекции по «алгоритму целых и дробей», т. е. по арифметике, основанной на позиционной нумерации, по оптике, сферике, церковно-календарным вычислениям и, позднее, курс астролябии.

Подсобная роль математики в университетах отрицательно сказывалась на знаниях студентов, которые, например, в теоретической геометрии часто не шли далее нескольких первых теорем I книги «Начал». Еще в начале XVI в. в Парижском университете кандидаты на степень магистра искусств вместо сдачи экзамена по геометрии должны были присягать в том, что прослушали лекции по шести первым книгам «Начал». Все же, несмотря на преобладание в преподавании духа авторитарности и схоластики, несмотря на подчиненное положение математики, университеты были важными центрами распространения и развития математических знаний, преимущественно в более отвлеченных направлениях.
Прочитать остальную часть записи »

Очень большую роль в развитии математики сыграли университеты. Древнейший в Европе университет — медицинский. Он был основан в Салерно, точной даты не известно, но не позднее первой половины XI в.

Около 1100 г. также была открыта школа в Болонье, которая потом переросла в университет, в нем на основе римского права разрабатывались первые юридические нормы, интерес к которым возрастал вследствие развития городов. На базе еще нескольких монастырских школ в конце XII в. вырос Парижский университет, в котором обучались тысячи студентов со всех концов Европы; примерно тогда же были созданы знаменитые Оксфордский и в 1209 г. и Кембриджский университеты. В XIV в. появляются университеты в Праге — в 1348 г., в Кракове — 1364 г., в Вене — 1365 г., в Гейдельберге — 1385 г., затем в Лейпциге — 1409 г., в Базеле — 1459 г. и т. д. Все выше перечисленные университеты, в отличие от первых двух, не были узкопрофессиональными школами.

Организация преподавания была примерно такова: университет состоял из четырех факультетов — искусств, богословия, права и медицины. Студент, нередко подросток, поступал прежде всего на факультет искусств, где обучался около шести лет, и после испытаний мог перейти на какой-либо другой факультет.

Наиболее популярным и влиятельным был богословский факультет, где обучение продолжалось около восьми лет и завершалось испытанием и диспутом. Преподаватели делились на младших — бакалавров, магистров — и докторов. Во главе университетов стояли монахи-богословы.

Вместе с распространением торговли начали завязываться и научные связи с арабской культурой, прежде всего через Испанию и Сицилию, в то время находившиеся в руках арабов.

Одним из первых посетил Испанию, точнее — Каталонию, французский ученый монах Герберт (ок. 940—1003), который был в 999—1003 гг. римским папой под именем Сильвестра II.

В 972—982 гг. Герберт жил в Реймсе, где преподавал в прославившейся вскоре школе предметы квадривиума. Кроме математики, логики и философии, Герберт занимался астрономией. Около 994 г. он соорудил в Магдебурге солнечные часы, для чего вел наблюдения над Полярной звездой.

Герберту приписывают несколько математических сочинений, но неизвестно в точности, он ли их автор.

С большей уверенностью это можно сказать о «Книжке о делении чисел» (Libellus de numerorum divisione), с меньшей — о «Правилах счета на абаке» (Regula de abaco сотриti). Во всяком случае, оба названных труда, сохранившихся в рукописях более позднего времени, должны быть по содержанию близки к написанным Гербертом. Числа в обеих рукописях пишутся словами или изображаются римскими цифрами. Преимущественно римское влияние отразилось и на третьем, приписываемом Герберту сочинении по геометрии, дошедшем до нас в списках XII в. Здесь изложены простейшие предложения геометрии и правила землемерия, а также приемы вычисления фигурных (многоугольных и пирамидальных) чисел.

Популяризируя сочинения Боэция, фрагменты «Начал» Евклида и практическую геометрию римских агрименсоров, Герберт подходил к основным понятиям геометрии критически. Он указывал, что в действительности ни одна точка, ни одна линия и поверхность не встречаются иначе чем в связи с каким-нибудь телом. Лишь мысленно мы отрываем точки, линии и поверхности от тел.

Для низкого состояния математической культуры того времени характерно, что среди обвинений, выдвинутых против Герберта, сторонника всемерного усиления церкви и папского престола, было и то, что он владеет умением делить любые большие числа. Это в глазах церкви с несомненностью свидетельствовало о том, что он продался дьяволу.

Абак, о котором писал Герберт, был заимствован у римлян. Во времена Герберта абак представлял собой гладкую доску, посыпанную песком и разделенную на 30 столбцов, из которых три отводились для дробей, а прочие группировались по три столбца, всего в десять групп. Иногда групп столбцов бывало меньше. Сверху столбцы завершались дугами, которые называли пифагоровыми: изобретение абака приписывали Пифагору. В столбцах, повторно помеченных наверху слева направо буквами С (centum — сто), D (decern — десять) и S или М (singularis или monas — единица), клали или писали знаки единиц соответствующих разрядов. В отличие от древних форм счетной доски, единицы изображались не с помощью нескольких камешков, а с помощью особых нумерованных жетонов с их изображениями. Те и другие назывались «апексами» (apices).
Прочитать остальную часть записи »