Математика, решение онлайн!!!

Архив рубрики «Исторические факты»

Одним из первых математиков Западной Европы был ирландский монах Беда Достопочтенный (ок. 673—735). Беда был разносторонним ученым. О себе он говорил, что всегда любил либо учиться, либо учить, либо писать. Велики заслуги Беды как историка, но он оставил след и в развитии математики. Беда был автором специального хронологического трактата, значительная часть этого трактата посвящена вычислению для пасхи, с которым жестко связаны многие другие важные христианские праздники. Первый день пасхи устанавливается правилами, которые, по существу, дают решение в целых числах неопределенных линейных уравнений. Главную роль играет требование, чтобы пасха начиналась в первое воскресенье после полнолуния, приходящегося на день весеннего равноденствия или ближайший вслед за этим день. Определенный день недели (скажем, первое мартовское воскресенье) приходится в разные годы на разные числа, повторяясь с 28-летним циклом (солнечный круг), фазы Луны повторяются с периодом в 19 лет (лунный круг). Поэтому дни пасхалии перемещаются в календаре в некоторой последовательности с периодом в 532 года (великий круг). Мы указали только основные моменты пасхалии, вычисление которой усложнено рядом дополнительных условий. В христианской церкви, в частности, в ирландской и английской, долго шли споры по поводу пасхалии.

В этом же трактате имеется полное описание счета на пальцах. Различные загибы пальцев рук изображали единицы, десятки, сотни и тысячи, а жесты рук позволяли продлить счет до миллиона.

К пальцевому счету восходит характерное для средневековой арифметики, начиная с Боэция, деление чисел на digiti (пальцы) — единицы, articuli (суставы) — десятки и numeri compositi — прочие «составные числа».

При дворе франкского короля Великого, впоследствии объявленного римским императором, работал епископ Алкуин (735—804). Алкуин — уроженец Иорка, ученик друга Беды Достопочтенного. Алкуин был организатором школ и автором ряда руководств. Из них наибольший интерес представляют «Задачи для изощрения ума юношей» (Propositiones ad acuendos iuvenes), среди которых имеется ряд задач индийского происхождения.

В эпоху раннего феодализма, когда полностью хозяйничала религия, в духовной жизни человека не было стимулов для обычных научных занятий естествознанием и математикой. В хозяйстве и в быту необходимые математические сведения не выходили за пределы начальных действий с целыми и дробями и правил измерения простейших фигур. Но в тоже время немного выше требования к математике предъявлялись в монастырях, являвшихся как религиозно-идеологическими, так и крупными хозяйственными организациями; но и здесь интерес к математике ограничивался вопросами практической арифметики и геометрии, а также вычислениями календарей и дней церковных праздников.

Для воспитания образованных людей было написано несколько книг, содержавших начальные сведения о семи «свободных искусствах», разделявшихся на тривиум (трехпутье) и квадривиум (четырехпутье) — эта классификация восходила к первым векам Римской империи. Тривиум охватывал грамматику, риторику как искусство красноречия с началами правоведения, и диалектику — в смысле умения вести спор. Квадривиум включал арифметику — изложение без доказательств простейших свойств чисел в комбинации с числовой мистикой, геометрию — краткие сведения об основных геометрических образах и мерах и по географии, астрономию, включая календарь, и, наконец, музыку как учение о гармонических интервалах.

Одним из наиболее популярных в Средние века авторов сочинений по квадривиуму был Аниций Манлий Северин Боэций (ок. 480—524). Боэций был государственным деятелем при дворе остготского короля Теодориха Великого и философом-неоплатоником. Он учился в Афинах в Ака¬демии платоников, написал ряд философских сочинений и трактат о музыке. Боэций был казнен по обвинению в государственной измене. В тюрьме он написал очень популярное в Средние века философское сочинение «Утешение в философии». Боэций перевел на латинский язык «Арифметику» Никомаха и часть «Начал» Евклида; в перевод Никомаха он вклю¬чил числовые примеры, а в книге Евклида довольствовался геометрическими примерами и не приводил строгих доказательств. Популярностью Боэция объясняется то, что ему приписывали и ряд позднейших сочинений.
Прочитать остальную часть записи »

О высоком уровне математических знаний Киевской Руси свидетельствуют замечательные памятники архитектуры Киева.

Первый дошедший до нас математический документ на Руси — математические задачи юридического сборника «Русская правда», написанные в XI в. Эти задачи представляют собой «статьи» о приплоде скота, количестве зерна или сена, собираемого с определенной площади, и т. д.

В Новгороде — вечевой республике с выборным князем, находившейся в тесных торговых отношениях с «вольными городами» Западной Европы,— было написано первое дошедшее до нас русское математическое сочинение «Учение им же ведати человеку числа всех лет». Автор этого сочинения — ученый монах Кирик (род. 1100). «Учение» написано им в 1136 г. Сочинение посвящено подсчету числа месяцев, недель и дней «от сотворения мира» (1136 г. н.э. считался 6644-м годом «от сотворения мира»), далее подсчитывались также числа и дробные доли чисел. Находились также «солнечные круги» — 28-летние периоды, за которые дни недели возвращаются на те же числа, и «лунные круги» — 19-летние периоды, за которые на те же числа возвращаются фазы Луны. Эти подсчеты Кирика были, несомненно, связаны с хронологическими вычислениями, проводившимися в это время в Западной Европе.

Татарское нашествие (XIII — XV вв.) надолго задержало развитие науки на Руси. Полчища Батыя, так же как и войска его двоюродных братьев Хулагу и Хубилая, беспощадно разрушали все культурные центры завоеванных стран. При этом на Руси не нашлось ученых, которые, сотрудничая с захватчиками, организовали бы в условиях татарского ига центры науки, подобные астрономическим обсерваториям в Мараге или Ханбалыке. Все силы русского народа в это время были направлены на сопротивление захватчикам. Значение этой борьбы для развития мировой науки общеизвестно: ценой огромных потерь Русь остановила татарские орды и спасла от них Европу, создав тем самым возможность дальнейшего развития науки на Западе.

Восходит к греческой буквенной нумерации и древнерусская нумерация. Славянский алфавит содержал ряд букв, добавленных к греческим и обозначавшим звуки, отсутствующие в греческом языке: таковы буквы Б (греческая «бета» у византийцев произносилась, как «в», и называлась «вита», что отразилось в слове «алфавит»), Ш, Ц,Ч, III, Щ и др.

Однако, в отличие от грузин и армян, славяне не придали числовых значений новым буквам, за исключением букв Ч и Ц, которыми они заменили архаические греческие буквы «коппу» и «сампи». Числовое значение 6 имела славянская буква «зело», похожая на греческую букву ς — концевую сигму, которой греки заменили первоначально имевшую это числовое значе¬ние архаическую дигамму. Славянские буквенные нумерации, основанные на обоих славянских алфавитах — кириллице и глаголице.

Десятки и единицы писались в том порядке, в котором они произносятся; например, пятнадцать (пять-на-десять) обозначалось "єї", а двадцать пять — "кє". Тысячи обозначались теми же буквами, что и единицы, но со специальным знаком. Большие числа записывались теми же буквами, что и единицы, но с различным обрамлением. Наибольшее распространение получила кириллическая нумерация.

Вот такими изобретательными были наши предки, теперь может для нас это кажется не очень рациональным, но в те времена и с теми знаниями – это было изобретение.

В первой половине XI в. в Армении работал просветитель Григорий Магистрос (ок. 990—1058); до нас дошло начало выполненного Магистросом перевода «Начал» Евклида. В конце XI — начале XII в. в Армении работал астроном Ованес Саркаваг (ок. 1045—1129), автор хронологических работ. Сочинение Саркавага «Многоугольные числа» опиралось на «Арифметику» Никомаха.

В XI—XII вв. в Грузии в Гелатской академии (вблизи г. Кутаиси), основанной грузинским царем Давидом Строителем, работал Иоане Петрици (ок. 1055—1130). Петрици переводил на грузинский язык философские сочинения неоплатоников, в частности Прокла Диадоха; от Прокла Петрици, по-видимому, заимствовал интерес к геометрии. В сочинениях Петрици мы встречаем рассуждения об основных понятиях геометрии: «Геометрия считает свои три измерения первичнее всего, а два из них она производит из одного... Ибо если точка растянется, возникает прямая линия, которая является первым ее отпрыском, а если линия расширяется, производит плоскость».

В XIV в. в Византии работает армянин Николай Рабдас Артавазд, уроженец Смирны. Ему принадлежит издание сочинения Плануда по индийской арифметике с собственными дополнениями. Сохранились два сочинения самого Артавазда на греческом языке в форме писем. Одно из них называется: «Краткое и весьма ясное изложение науки счисления, сочиненное в Константиновской Византии Рабдасом Николаем Артаваздом из Смирны, арифметиком и геометром, по просьбе почтеннейшего судебного докладчика, адвоката Георга Хачика, весьма легкое для желающих изучить его». Здесь разъясняются алфавитная система счисления и счет на пальцах до 9999: на левой руке откладывались единицы и десятки, а на правой — сотни и тысячи. При изложении действий арифметики Артавазд замечает, что в случае больших чисел хорошо пользоваться «великим индийским счислением»; в конце письма приведены большие таблицы сложения, вычитания и умножения в алфавитной нумерации, близкие к таблицам Анании Ширакаци.
Прочитать остальную часть записи »

Грузины и армяне, создавшие свои алфавиты на основе греческого, пользовались алфавитной нумерацией, построенной по образцу греческой буквенной нумерации. Так как в грузинском и армянском языках больше согласных звуков, чем в греческом, то к греческим был добавлен ряд новых букв, что дало возможность обозначать ими не только единицы десятки и сотни, как греки и их предшественники, но также и тысячи.

Во второй половине VII в. работал выдающийся армянский ученый вардапет (учитель) Анания Ширакаци, уроженец Ширака. Из приписываемой ему автобиографии известно, что он, «сильно возлюбив числитель¬ное искусство», долго искал хорошего учителя и в конце концов нашел его в лице греческого математика Тюхика в Трапезунде. Вернувшись на родину, Анания написал ряд сочинений, среди них «Космографию и летоисчисление» и сборник арифметических задач «Вопросы и решения», сохранившийся не полностью — без вводной теоретической части. В сборнике 24 задачи с ответами, но без вывода; почти во всех задачах так или иначе отражена жизнь армянского народа: или в условии говорится о событиях армянской истории, или применяются армянские меры. Задачи — линейные, с одним неизвестным, в одной требуется разделить величину в арифметической прогрессии; есть древнегреческая задача на заполнение бассейна тремя трубами. Встречающиеся в задачах дроби записаны в виде сумм долей единицы; например, ответ задачи, который мы записали бы как 6/11, дается в виде суммы 1/4 + 1/6 + 1/12 + 1/22 (хотя эту же дробь можно было бы записать гораздо проще — в виде 1/2 + 1/22). Анания Ширакаци составил также обширные таблицы сложения, вычитания и умножения, а также чисел вида 6000/n, где n пробегает все значения букв армянского алфавита, а частные округляются до целого числа.

Имелись аналогичные таблицы и в Армении для чисел вида 5000/n, 4000/n и некоторых других.

Якоб Штейнер (Jacob Steiner, 1796—1863) несколько раз читал в Берлинском университете курс, посвященный «максимальным и минимальным свойствам фигур в плоскости, на сфере и в пространстве», а в 1841 году (год спустя после смерти Люилье, прожившего 90 лет) представил Парижской Академии два мемуара под тем же заглавием (на немецком языке).

Не поддерживая непримиримой позиции Люилье, Штейнер считает, как видно из заключительных слов приведенной цитаты, что в столь трудных вопросах вообще необходимо сотрудничество обоих методов. Но при этом синтетический метод представляется ему наиболее пригодным для установления таких основных положений, которые вскрывали бы «истинную природу и действительную причину» максимальных и минимальных свойств и из которых легко вытекала бы система дальнейших предложений. Поэтому в названных мемуарах он пользуется исключительно синтетическими методами, предоставляя анализу способствовать дальнейшему развитию заложенных таким образом основ.

В результате своих длительных исследований вопроса о максимумах и минимумах в геометрии, Штейнер убедился в невозможности установить единый принцип, одинаково применимый ко всем вопросам в этой области. «Никакая другая ветвь геометрии,— говорит ученый,— не сопряжена, по-видимому, со столькими трудностями, как эта: когда кажется, что нашел уже прямой и общий метод, неожиданно наталкиваешься наряду с очень простыми проблемами на такие, решить которые этот метод почти или даже совершенно бессилен; и успех до такой степени зависит здесь от выбора точки зрения, что часто трудности, кажущиеся непреодолимыми при пользовании одними средствами, исчезают, лишь только подойдешь к ним с другими приемами, даже тривиальными в известном отношении».

В упомянутых двух мемуарах Штейнер излагает те пять методов, к которым он пришел в результате своих исследований. Хотя эти пять методов отличаются лишь ходом рассуждений, приводящих к одной и той же «главной» теореме (так геометр называет теорему о круге как о фигуре, наибольшей по площади из всех плоских фигур одинакового периметра), которая служит основой для всех дальнейших выводов,— изложение в мемуарах математика всех, пяти методов объясняется не тщеславным его желанием похвастаться своей изобретательностью, а глубокими внутренними причинами. Дело в том, что невозможно, говорит он, обойтись без общего сотрудничества этих методов: каждый из них легко приводит к таким теоремам, доказательство которых лишь с чрезвычайным трудом удалось бы найти, если пользоваться остальными четырьмя методами.
Прочитать остальную часть записи »

Увлеченные успехами дифференциального и вариационного исчислений, математики совсем забросили к концу XVIII столетия старый евклидов или синтетический метод решения экстремальных задач вообще и изопериметрических в частности, в угоду новому вычислительному или аналитическому методу. Такое тяготение к аналитическим методам в истории новой математики можно, по-видимому, объяснить тем, что анализ дает часто готовые приемы для решения обширных групп задач и, таким образом, позволяет как бы механизировать процесс решения проблем известного рода, тогда как методы синтетические большей частью дают только общую руководящую идею, а исследование каждой отдельной проблемы с ее помощью требует известной степени математической изобретательности.

Но время от времени и в позднейшей истории математики появляются геометры с исключительной склонностью к синтетическому мышлению и творчеству. Одним из таких геометров был женевский математик Люилье (Simon Antoine Jean Lhuilier, 1750—1840). В 1782 г. он издал (в Варшаве) на латинском языке книгу под названием: «Геометрическое исследование взаимоотношений между площадью и контуром фигур, или о наибольших или наименьших; часть I, элементарная», а в 1789 г. вышла в свет на французском языке его же «Полигонометрия» (т. е. теория решения многоугольников, по аналогии с тригонометрией — теорией решения треугольников), содержащая в виде приложения «Краткое изложение элементарной изопериметрии».

Вот какую характеристику этих работ Люилье дает в своем мемуаре другой геометр-синтетик, гениальный Штейнер: Прочитать остальную часть записи »