Математика, решение онлайн!!!

Архив рубрики «матрицы»

Последнее время я получал много комментариев на сайте и писем с вопросами: «Как найти определитель четвёртого, пятого порядка?» или что-то подобное. И практически всех этих людей я отправлял посмотреть мои видео-уроки, в которых я подробно об этом рассказываю. Но потом решил упростить вашу работу и сделать online-программу, которая подробно рассказывала бы, как это сделать для любого определителя.

То есть теперь в дополнения к видео-урокам в которых я подробно всё рассказываю на конкретных примерах, вы можете открыть онлайн программку для разложения определителя по строке или столбце. И она всё шаг за шагом вам объяснит, конкретно в вашем случае, с вашим определителем. Этим методом можно решить определитель любого порядка, он раскладывает определителя на произведения элементов строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Вам просто надо указать размерность определителя, потом в соответствующие ячейки внести все числа и нажать кнопку «Вычислить». Через несколько секунд перед вами будет подробнейшее решение этого определителя. Я постарался расписать там всё до мельчайших деталей, поэтому если вы всё подробно прочитаете и осмыслите, то вам сразу станет понятен весь процесс , и вы сможете самостоятельно решать такие упражнения, а результат сверять с результатом программы. И если они будут не совпадать, то сможете даже посмотреть, на каком этапе сделали ошибку.

Также хотел бы вам порекомендовать освежить в памяти все свойства определителей, которые используются при их преобразовании. Хотя программа указывает, на что надо обратить внимание при решении, но лучше, если это будет у вас в голове, а не в компьютере или тетрадке.
Прочитать остальную часть записи »

Спешу вас порадовать добавлением ещё нескольких онлайн программ на мой математический сервис. Буквально несколько минут назад, я добавил ещё две программки, которые могут транспонировать матрицы и слагать или вычитать матрицы. Эти программки не большие, но, думаю, должны вам пригодится.

Матрица – это всегда много чисел, и даже делая с ними самые простые действие, легко ошибиться, просто глянув не на ту цифру. Теперь вы всегда сможете себя проверить и потом быть на 100% уверенным в правильности решения такого задания.

Для транспонирования, то там вообще всё просто, вы записываете столбцы данной матрицы строками. Хочу сразу навести несколько свойств транспонированных матриц:

1. Если одну матрицу дважды транспонировать, то вы получим ту же матрицу (A^T)^T=A.
2. Транспонированная к суме матриц равна сумме транспонированных матриц (A+B)^T=A^T+B^T.
3. Транспонированная к произведению матриц A на B равна произведению B^T на A^T транспонированных матриц (AB)^T=B^TA^T.
4. Определитель матрицы равен определителю транспонированной к ней матрицы |A|=|A^T|.

Для сложения, то здесь так же нет ничего сложного, но как я уже говорил, легко запутаться, просто глянув не на то число. Поэтому будьте внимательны и обязательно проверяйте результаты. Также хочу добавить, что матрицы, которые вы хотите сложить или вычесть должны быть одной размерности, поэтому в программке вы вводите размерность, только для одной, а вторую она выводит сама точно такую же. Вам остаётся, только ввести её элементы.
Прочитать остальную часть записи »

Как я вам и обещал, продолжаю обновлять свои онлайн программки для решения математических задач. Планирую со временем обновить все, что бы они могли максимально подробно выдавать решение с нужными комментариями, это даст возможность не только проверять свои решения, но и понимать ход решения, если вы в этом не разобрались. И сегодня я обновил программку для умножения матриц.

Те, кто пользовался ею раньше, могут увидеть изменения и опробовать их. Для тех, кто раньше ею не пользовался, то расскажу, что раньше вы вводили свои матрицы и после нажатия на кнопку «Вычислить», перед вами появлялась новая страница, на которой была только матрица, которая была равна произведению, тех, что вы ввели. А теперь после того, как вы введёте свои матрицы и нажмёте кнопку «Вычислить», перед вами на той же странице сразу появится подробное решение. В котором будет написано правило умножения матриц с подробными формулами и пошагово решён ваш пример! Так что теперь вы можете, не просто узнать результат, а и рассмотреть все шаги решения и даже если вы не знаете, как умножать матрицы, то там есть все формулы и подсказки, что бы научиться этому. И к тому же у вас есть возможность сразу проверить свои знания с помощью онлайн программки.

Смотрю, что люди часто ею пользуются, и думаю, что в новом виде она будет ещё больше популярна и принесёт больше пользы для вас!
Прочитать остальную часть записи »

По вашим просьбам была добавлена ещё одна онлайн программка для нахождения обратной матрицы. Она находит матрицу с помощью алгебраических дополнений. При этом выводится каждый шаг, выписываются все миноры и алгебраические дополнения. А в конце вы увидите обратную матрицу к данной.
Так что если вы нашли обратную матрицу и не уверены правильно ли это сделали, то легко можете всё проверить с помощью онлайн программки. Она расписывает каждый коэффициент и вы точно будет знать, где у вас ошибка.
Также хочу напомнить, что при нахождении обратной матрицы через алгебраические дополнения, вам надо:

1. найти алгебраические дополнения к каждому элементу вашей матрицы, при этом главная ошибка: часто упускают знак, то есть вычисляют минор, а не алгебраическое дополнение;
2. потом надо записать эти дополнения транспонированной матрицей;
3. и, наконец, не забыть перемножить эти элементы новой матрицы на $\frac1\Delta$, где $\Delta$ – определитель основной матрицы.

И после всех этих шагов вы у вас выйдет обратная матрица, к той, что у вас была в начале.

И, конечно, вы всё это можете легко проверить онлайн, прямо здесь.
Всем спасибо, до следующих встреч.
Все ваши мысли пишите в комментариях. Буду рад их выслушать:))

С большим удовольствием сообщаю вам, что я обновил две своих программы:

• Преобразование матрицы к треугольной
• Нахождение обратной матрицы

Теперь они не только выдают результат, но и описывают весь процесс решения с подробными комментариями. Всё стало ещё проще!

Так что если вы не знаете, как найти обратную матрицу или преобразовать её к треугольной, вам только надо зайти на решение онлайн, выбрать подходящей вам вариант и ввести нужные данные. После этого нажмите на кнопку «Вычислить» и через несколько секунд вам будет выдан подробнейший результат.

Ещё расскажу коротко о самих программах. Первая, которая превращает матрицу в треугольную, она работает по стандартной схеме. Берёт элемент на главной диагонали и делает нули под ним. Вторая, которая находит обратную матрицу, ищет по методу дописывания единичной матрицы.
Для получения более подробной информации перейдите и испробуйте эти программы. Они помогут вам, не только просто решить упражнение, но и всё вам пояснят шаг за шагом.

Также хочу добавить, что это только начало, со временем таких программ будет всё больше и больше. Потому на этом сайте вы сможете получить, такую мини онлайн консультацию, по значительной части упражнений с высшей математики.

По любым вопросам и предложениям пишите в комментариях.

Итак, я сегодня решил рассказать о методах решения определителей матриц, на мой взгляд, их есть три:

• по формулах;
• с помощью алгебраических дополнений, то есть разложение за строкой или столбцом определителя;
• при преобразовании матрицы к треугольной.

Рассмотрим каждый из методов более подробно.
Первый метод. Поскольку формулы есть только для квадратной и кубической матрицы, то естественно этого мало.
$\left | \begin {array} {cc}<br /> a_{11} & a_{12} \\<br /> a_{21} & a_{22}<br /> \end {array} \right |=a_{11}*a_{22}-a_{21}*a_{12}.$

$\left | \begin {array} {ccc}<br /> a_{11} & a_{12}& a_{13} \\<br /> a_{21} & a_{22} & a_{23}\\<br /> a_{31}& a_{32}& a_{33}<br /> \end {array} \right |=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{21}*a_{32}*a_{13}-a_{13}*a_{22}*a_{31}-a_{21}*a_{12}*a_{33}-a_{23}*a_{32}*a_{11}.$
Мы их сможем использовать только для кубической и квадратной матрицы, но это нам очень поможет в дальнейшем!

Второй метод. Конечно, если у нас размерность матрицы выше трёх, то формулы нам не помогут. Здесь надо понижать размерность, то есть раскладывать матрицу за элементами строки или столбца с помощью алгебраических дополнений. И делать это до того момента, когда размерность конечных миноров не станет три (в этом случае мы сможем использовать формулы для нахождения определителя кубической матрицы).

Третий метод. Кажется, очень просто преобразовать матрицу к треугольной и потом, чтобы вычислить определитель нужно перемножить все элементы, что стоят на главной диагонали! Но это ещё не всё, здесь надо не забывать о свойствах определителя! Когда для перехода к треугольной матрицы мы умножали какую-то строку на число, то в конце надо поделить на то число наше произведение, а также если мы перестанавливали местами строки, то надо менять знак определителя! Если всё осторожно и без ошибок подсчитать, то результат будет правильным!

И напоследок, какой же метод лучше: второй или третий? Конечно второй будет проще, а ещё если матрица не слишком большая или имеет много нулей, или их без проблем можно сделать на одном столбце или строке, то тогда, конечно второй! Ну, а для любителей описан и третий метод, но надо быть очень осторожным, чтобы ничего не упустить! Этот метод применяют, только в исключительных примерах!
И что бы результат был правильный наверняка, то проверяйте свои результаты с помощью решений онлайн!