Решение линейных неоднородных Дифференциальных Уравнений!
После того, как я добавил онлайн программки для решения линейных однородных дифференциальных уравнения второй и третьей степени, то меня часто спрашивали, как же решить, точно такое же, но если после знака равности стоит функция, а не ноль. И сегодня я решил опубликовать ответ.
И этот ответ я опубликовал в виде текстового примера конкретного неоднородного дифференциального уравнения и некоторых правил, что приведу ниже.
Значит так, когда у вас есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение, что бы его решить вам надо:
- Сначала решить точно такое же, но однородное, то есть после знака равности поставить ноль, его вы можете решить и онлайн здесь.
- Потом смотрите на ту функцию, что стоит после знака равности, если там несколько слагаемых, то смотрим, нет среди них
- Экспонента $e^{tx}$ ( тригонометрическая функция $cos(nx)$ ), далее смотрим, умножается она на многочлен или на тригонометрическую функцию
- Если на многочлен, то смотрим, не будет ли $t$ ( $ni$ ) корнем характеристического уравнения:
- Если будет кратности $k$, то нам надо будет его умножить на $x^k$ и на общий вид многочлена;
- Если не будет, то просто записываем $e^{tx}$ и на общий вид многочлена;
- Если на тригонометрическую функцию, то надо её преобразовать к косинусу, или синусу, или их сумму, но обязательно не должно быть степеней и должны быть одинаковые аргументы и если там $cos(nx)$, то смотрим не будет ли тригонометрическое число $t+ni$ ( $ni$ ) корнем нашего характеристического уравнение:
- Если да и кратности $k$, то опять надо помножить на $x^k$;
- А если нет, то записать общий тригонометрический вид комплексного числа;
- Если на многочлен, то смотрим, не будет ли $t$ ( $ni$ ) корнем характеристического уравнения:
- Просто многочлен, то смотрим, нет ли среди корней характеристического уравнения ноля
- Если есть кратности $k$, то надо умножить общий вид этого многочлена на $x^k$;
- Если нет, тогда просто записываем общий вид многочлена.
- Экспонента $e^{tx}$ ( тригонометрическая функция $cos(nx)$ ), далее смотрим, умножается она на многочлен или на тригонометрическую функцию
- Потом записываем эту функцию в общем виде, сложив все слагаемые, ищём нужные производные, что нам надо для начального уравнения и подставляем их туда.
- Вычисляем все неизвестные, приравнивая коэффициенты при разных функциях;
- Записываем общее решение.
Ну вот, такая не простая инструкция, вам станет более понятно, если вы посмотрите на пример и разберёте его по данной схеме. При возникновении вопросов пишите в комментариях, буду стараться пояснить более подробно.
- Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (конкретный пример)
- "Теперь Вы можете Сэкономить Свое Время при решении Дифференциальных Уравнений"
- Неопределённый интеграл (конкретные примеры)
- Видео пример решения неоднородного Дифференциального Уравнения!!!
Поделиться с друзьями:
Комментарии
Что то я не пойму…)у меня х-1…подскажите пожалуйста!!!
Что у вас: х-1?
после знака равно
y»-у’-12у=x-1,решила левую часть получилось у=С1^4x+C2^-3x..что потом нужно делать?
Читайте инструкцию:
o Если нет, тогда просто записываем общий вид многочлена (в вашем случае это будет: Y=Ax+B).
# Потом записываем эту функцию в общем виде, сложив все слагаемые, ищём нужные производные (то есть первую и вторую для вас), что нам надо для начального уравнения и подставляем их туда (у ваше начальное уравнение).
# Вычисляем все неизвестные, приравнивая коэффициенты при разных функциях (как это делать смотрите здесь: //matemonline.com/primeru/linejnoe-neodnorodnoe-difur/)
# Записываем общее решение.
Здравствуйте!есть уравнение y»+4′-12y = 8sin(2x)
Левую часть я решил.
Общий вид многочлена будет (sin(2x)+cos(2x))*x так или я ошибаюсь?
Если я правильно вас понял, то должно быть Asin(2x)+Bcos(2x)
Привет. Почему-то нигде не встречал примера, когда в правой части логарифм. никак не могу решить.
y»=x*ln(x)
получается y=c1*x+c2. а что потом делать? Можно, конечно, взять два раза интеграл, но тоже что-то не выходит 🙁
и второе y’ + y/[x*ln(x)]=16*x^7/ln(x).
во втором при решении только левой части выходит, что dy/y= — dx/[x*ln(x)] и получаем у=ехр(-1+С)
Что-то здесь: «dy/y= – dx/[x*ln(x)] и получаем у=ехр(-1+С)» не так!
да, не тот метод применял. Решил через интегральный множитель.
всё, это y»=x*ln(x) проинтегрировал, получилось 🙂
А вот со вторым…:(