Решение задач на наименьшее (наибольшее) значение с помощью производной!
Последнее время я много времени уделял разным задачам, которые решаются с помощью производной. И сегодня будет ещё небольшое дополнение до этого класса задач. Я уже рассматривал, как с помощью производной найти максимум или минимум функции, но сегодня ещё добавил несколько текстовых примеров задач, как это реально можно использовать на практике. То есть решение реальных практических задач.
В этих задачах вам надо найти не просто конкретный результат, а выбрать наилучший (наибольший или наименьший). Основная часть решения заключается именно в том, что бы искать максимум или минимум функции, то есть, как я уже говорил, найти первую производную, прировнять её к нулю, решить уравнение, и найти сам максимум или минимум.
Но в этих задачах есть ещё одна не большая загвоздка в том, что самой функции в явном виде здесь нет, её надо самому составить, выходя из условий задачи. Для того, что бы это лучше у вас выходило, я дам несколько рекомендаций:
- Для начала, рекомендую, по возможности всегда делать схематический рисунок – это очень часто помогает понять саму суть задания и даже понять ход решения.
- Потом надо удачно подобрать переменную, так как это может усложнить или облегчить дальнейшие вычисления. В большинстве случаев, через неизвестный аргумент лучше обозначать ту величину, которой не хватает для вычисления значения величину, про которую спрашивает задача. Разберите все условия до мельчайших подробностей, а потом идите дальше. Вот, например, в задаче с пловцами, там спрашивается время, а через переменную обозначили расстояние, потому что так будет проще в дальнейших вычислениях и именно от расстояния зависит время, если скорость уже данная. Точно также и в задачи с коробкой плоскость основы мы знали, значит, объём будет зависеть только от высоты.
- Теперь уже по полученным данным составляем уравнение, которое также надо придумать, выходя из условий задачи. Это должна и быть функция, которая выражает значение величины, максимум или минимуму которой, мы ищем.
- После чего уже в готовой функции мы находим её максимуму или минимум, как я уже рассказывал в предыдущих постах. Ещё только хочу добавить, что в таких лучше использовать ещё и вторую производную, что бы точно знать – максимум это или минимум. Если значение второй производной в точке подозрительной на экстремум меньше нуля, то это точка максимума, а если больше – то минимума.
Ну, вот и всё. Ещё раз посмотрите данные примеры и хорошо в них разберитесь. Думаю, после этого вы сможете решать аналогические упражнения.
P.S. Если что-то не понятно, то пишите в комментариях, но комментарии типа: «Решите мне задание» или просто только одно условие задачи, будут сразу удалятся. Я могу помочь разобраться в ходе решения, а не занимаюсь решением упражнений на дому.
(2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...
Условие
Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
Решение
По формуле V цилиндра выразила h=V/pi*r^2-это высота жести; длина: H=2*pi*r+2*r, где 2*pi*r-длина окружности, 2*r- диаметр окр Сост Периметр жести P=2(H+h) ,т.е P=2*(2*pi*r+2*r+V/pi*r^2)
Производная P’=2*(-2*V/pi*r^3+2*pi+2); 2*(-2*V/pi*r^3+2*pi+2)=0
r=(V/pi*(pi+1))^(1/3) след. h=((pi*(pi+1))^(2/3)*V^(1/3))/pi
2 Производная: P»=12*V/pi*r^4
P»((V/pi*(pi+1))^(1/3))=(12*(pi+1)*(V^2*pi*(pi+1))^(1/3))/V
Решала ориентируясь на ваш пример. Помогите пожалуйста разобраться где минимум, а где максимум, или может
я вообще не правильно решила. Заранее спасибо)))
Ну для начала надо искать площадь жести, а не периметр!
Я сначала решала через площадь,
S=(2*pi*r+2*r)*V/pi*r^2 -> S=2*(pi+1)*V/pi*r тогда производная S’=-2*V*(pi+1)/pi*r^2 не получается ничего r>0, а в числителе все известные данные, тогда как приравнять к нулю производную не понимаю?
Вы что-то напутали с формулою площади, там должна быть такая формула:
$$S=\frac{2V}{r} + \pi r^2$$
Спасибо вам большое, все получилось!!! Очень полезный сайт, самому просто не разобраться без вашей помощи))))
Здравствуйте, у меня вот такая вот задача еще:
найти наименьшее и наибольшее значения функции z=x^2+2y^2+1 в замкнутой области D, заданной системой неравенств x?0, y?0, x+y?3. Сделать чертеж.
В общем, у меня получается так.
Я нашла стационарные точки
dz/dx = 2x
dz/dy = 4y
Система уравнений:
2x=0 x=0
4y=0 => y=0
Точка(0;0) является решением данной системы уравнений.
А что дальше мне делать? Подскажите, пожалуйста. И вообще правильно ли я начала?
Значит минимальное значение будет в точке (0;0;1), ну а максимальное надо искать на пересечении функций z=x^2+2y^2+1 и x+y=3
нужно построить забор периметром 160 метров вокруг дома, так, чтобы площадь была наибольшей. Простейшая задача, решаемая с помощью производной, но тем не менее завела меня тупик((
Какой формы должен быть забор?
Не важно, главное чтоб площадь была наибольшей…
Тогда надо брать коло периметром 160 и искать площадь данного круга!