Площадь криволинейной трапеции через интеграл…
Сегодня мы рассмотрим, как с помощью определённого интеграла найти площади разных фигур на плоскости в декартовой системе координат. Это свойство определённого интеграла используется очень часто при решении многих подобных задач. И я расскажу об основных видах таких задач в этой статье.
Криволинейной трапецией (смотрите на первом рисунке) называется фигура, которая ограничена графиком непрерывной, неотрицательной функции f(x) на промежутке [a;b], отрезками прямых x=a и x=b, а также отрезком оси абсцисс между точками a и b.
Теперь перейдём к возможным вариантам расположения фигур, площадь которых надо вычислить на координатной плоскости.
Первым будет самый простой вариант (первый рисунок), обычная криволинейная трапеция, как в определении. Здесь ничего не надо придумывать просто берём интеграл от a до b от функции f(x). Найдём интеграл — будем знать и площадь данной трапеции.
Во втором варианте наша фигура будет ограничена не осью абсцисс, а другой функцией g(x). Поэтому, что бы найти площадь CEFD, нам надо сначала найти площадь AEFB (с помощью интеграла от f(x)), потом найти площадь ACDB (с помощью интеграла от g(x)). И искомая площадь фигуры CEFD, будет разница между первой и второй площадями криволинейной трапеции. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Третий очень похож к первому, но только наша трапеция размещена, не над осью абсцисс, а под ней. Поэтому здесь надо брать такой же интеграл, только со знаком минус, потому что значение интеграла будет отрицательным, а значение площади должно быть положительное. Если вместо функции f(x) взять функцию –f(x), то её график будет такой же просто симметрически отображен относительно оси абсцисс.
И четвёртый вариант, когда часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть под ней. Поэтому нам надо сначала найти площадь фигуры AEFB, как в первом варианте, а потом площадь фигуры ABCD, как в третьем варианте и потом сложить их. В итоге мы получим площадь фигуры DEFC. Поскольку границы интегрирования здесь одинаковые, то это всё можно записать под одним интегралом (смотрите формулы под рисунком) всё зависит от сложности функций, в каком случае проще будет найти интеграл.
Это я рассмотрел наиболее простые варианты, но на практике они всегда встречаются в смешанном варианте по несколько штук. Конкретные примеры и более сложный случай комбинации этих вариантов будет рассмотрен в следующей статье.
- Что такое интеграл?
- Всё об интегралах!
- Находим интегралы с помощью Mathcad!
- Изменения на блоге за лето!
(6 голосов, рейтинг: 4,33 с 5)
Загрузка...
По-моему, стоит также отметить, что во всех этих случаях даже тогда, когда какая-то из функций — нулевая.
По-моему, стоит также отметить, что во всех этих случаях при $$f(x)ge g(x)$$ площадь равна $$int_a^b (f(x)-g(x))dx$$ даже тогда, когда какая-то из функций – нулевая.
Вы совершенно правы!
Извините, формулы адекватно не добавляются…
Надо ставить $$ а не $ и всё будет отображаться, я поправил 🙂
Спасибо большое за статью. Все просто и понятно расписано. Очень выручили.