Архимедова спираль

Архимедова спиральСегодня я решил расширить разнообразие тем, которые раскрываются на сайте, и поговорить о разных геометрических фигурах. А то часто встречаются и такие, которые люди себе даже не могут представить о некоторых из них можно даже дипломную работу написать. Чего только ненапридумывали эти математики. Речь пойдет о Архимедовой спирали. Думаю, о таком величайшем математике все слышали, ну а теперь ещё узнаете о геометрической фигуре названной в его честь.

Определение. Пусть прямая UV (смотрите на рисунке), исходя из начального положения Х’Х, равномерно вращается около неподвижной точки О, а точка М, исходя из начального положения О, равномерно движется вдоль UV. Линия, описываемая точкой М, называется архимедовой спиралью — в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (3в. до н. э.), впервые изучившего эту линию.

Замечание. Входящие в определение кинематические понятия можно устранить, заменив их условием — чтобы расстояние ρ = ОМ было пропорционально углу поворота φ прямой UV.
формула архымедовой спирали
Повороту прямой UV из любого ее положения на данный угол соответствует одно и то же приращение расстояния ρ . В частности, полному обороту соответствует одно и то же смешение ММ1 = а. Отрезок а называется шагом архимедовой спирали.

Данному шагу а соответствуют две архимедовы спирали, различающиеся друг от друга направлением вращения прямой UV. При вращении против часовой стрелки получается правая спираль (жирная линия); при вращении по часовой стрелке — левая (штриховая линия). Их с одним и тем же шагом можно совместить, но для этого надо у одной из них лицевую сторону сделать оборотной. Как видно из последнего рисунка, правую и левую спирали одного и того же шага можно рассматривать как две ветви линии, описываемой точкой М, когда последняя пробегает всю прямую UV, проходя точку О попутно.

Ну и еще рассмотрим полярное уравнение (О — полюс; направление полярной оси ОХ совпадает с направлением движения точки М, когда она проходит через точку О; а — шаг спирали): ρ/a = φ/2π.

Положительным значениям φ соответствует правая ветвь; отрицательным значениям — левая. Данное уравнение можно записать в виде ρ=kφ , где k (параметр архимедовой спирали) есть смещение a/2π точки М по прямой UV при повороте последней на угол в один радиан.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (2 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *