Эвольвента (развертка) круга!

В близком родстве с архимедовой спиралью находится другая спираль — эвольвента круга (или эвольвента окружности). Это — линия, описываемая концом М (смотрите на рисунке) натянутой нити LM, сматываемой с круглой катушки D0LL1 (или наматываемой на катушку; в последнем случае точка М движется в обратном направлении). Геометрически указанное свойство выражается следующим образом.
Эвольвента круга
Определение. Пусть точка L, исходя из начального положения D0, многократно описывает окружность радиуса k (k — параметр эвольвенты круга). На касательной LH откладывается по направлению, противоположному направлению вращения, отрезок LM, равный дуге D0L, пройденной точкой L. Эвольвента круга есть линия, описываемая точкой М. Одна и та же окружность имеет бесчисленное множество эвольвент (соответствующих всевозможным положениям начальной точки D0).

В зависимости от того, вращается ли точка L по часовой стрелке или в противоположном направлении, получаем правую эвольвенту круга (D0MP на рисунке) или левую (D0Q). Обычно две эвольвенты данного круга рассматриваются как две ветви одной линии.

Связь с архимедовой спиралью. Сопоставим правую (левую) ветвь эвольвенты круга с правой (левой) архимедовой спиралью с тем же параметром k = OD0 (т. е. с шагом 2πа =D0E0), что и эвольвента круга. Пусть эта спираль (пунктирная линия на рисунке) исходит из центра О данной окружности по направлению луча ОХ’, получаемого поворотом начального радиуса OD0 на угол -90° (+90°). Точка G, описывающая спираль, неограниченно приближается к эвольвенте: кратчайшее расстояние от точки G до эвольвенты (оно измеряется отрезком GM нормали LH эвольвенты) уже в конце первого витка составляет лишь 1% от шага спирали.

С другой стороны, полярный радиус ON спирали, составляющий угол -90° (+90°) с радиусом OL, имеет ту же длину , что отрезок LM. Это значит, что основание перпендикуляра, опущенного из центра О на касательную МТ эвольвенты у описывает архимедову спираль.

И на окончание небольшие исторические сведения. Эвольвенты различных линий впервые были изучены X. Гюйгенсом в его известной работе о часовом маятнике (1673 г.). Основные свойства эвольвенты круга найдены французским ученым Ла Гиром (1640—1718) и изложены в его работе 1706 г. Ещё некоторые А. К. Клеро (1713—1765) в 1740 г., а также кинематическое свойство натурального уравнения (любой линии) указаны Мангеймом в 1859 г.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 голосов, рейтинг: 5,00 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *