Логарифмическая спираль

Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – логарифмическую спираль, которая немного напоминает уже пройденные эвольвенту и архимедову спираль, но все же у нее свои особенности, которые мы сейчас и рассмотрим. По ней даже курсовую работу можно сделать.
логарифмическая спираль
Для начала изучим определение. Пусть (смотрите на рисунке) прямая UV равномерно вращается около неподвижной т.О (полюс), а т. в свою очередь М движется вдоль UV, отодвигаясь от О со скоростью, которая пропорциональна расстоянию ОМ. Линия, которая описывается точкой М, называется логарифмической спиралью.

Теперь перейдем к основным геометрическим свойствам. Повороту данной прямой UV из любого ее положения на заданный угол ω (= ∠ M0OM1) соответствует одно и то же отношение ОМ1: ОМ0 указанных полярных радиусов. Говоря по другому: если пара точек M0, M1 логарифмической спирали видна из ее полюса под тем же углом, что и данная другая пара точек N0, N1 той же самой спирали, то треугольники OM0M1 и ON0N1 подобны.

Отношение q конечного полярного радиуса (ОА1) к ее начальному (ОА0) если повернуть UV на угол +2π называют коэффициентом роста логарифмической спирали.

Еще также различают правую и левую спирали. Если при удалении точки М от полюса О пряма UV вращается против часовой стрелки, тогда называется правой; а если против — левой. Также известны коэффициенты роста для правой q > 1; для левой q < 1. Ну, а если q = 1 тогда спираль вырождается в окружность.

От сюда можно сделать вывод, что если коэффициенты роста правой и левой спиралей в произведении дают 1, то их можно совместить, лицевую сторону одной из них сделав оборотной.

Ну, и на окончание увидим особенности формы. Если количество оборотов прямой UV против часовой стрелки (по часовой стрелке)будет неограниченным, тогда точка М, описывающая правую (левую) спираль, будет неограниченно удалятся от полюса и описывать бесконечное количество витков. Ну, а если неограниченно обертать в противоположном направлении, тогда точка М неограниченно приближается к полюсу О, но при этом ни при каком положении прямой UV не совпадает с О. В этом случае спираль делает бесконечное множество витков и около полюса. Интересно то, что длина дуги, которая описана при этом точкой М и отсчитана от некоторого начального положения A0 точки М, хотя и значительно возрастает, но не безгранично. Она будет стремится к некоторому пределу s, который будем называть длиной дуги ОА0. Оно будет условным, так как точка О, строго говоря, не будет принадлежать логарифмической спирали.

Некоторые дополнительные кинематические и картографические свойства этой геометрической фигуры смотрите в следующей статье.

Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Оцените материал:
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (3 голосов, рейтинг: 4,67 с 5)
Загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *